Question

如圖1所示，M、N為豎直放置的平行金屬板，兩板間所加電壓為U₀，S₁、S₂為板上正對的小孔。金屬板P和Q水平放置在N板右側(cè)，關(guān)于小孔S₁、S₂所在直線對稱，兩板的長度和兩板間的距離均為l；距金屬板P和Q右邊緣l處有一熒光屏，熒光屏垂直于金屬板P和Q；取屏上與S₁、S₂共線的O點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為正方向建立x軸。M板左側(cè)電子槍發(fā)射出的電子經(jīng)小孔S₁進(jìn)入M、N兩板間。電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，初速度可以忽略。不計(jì)電子重力和電子之間的相互作用。

（1）求電子到達(dá)小孔S₂時的速度大小v；

（2）若板P、Q間只存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，電子剛好經(jīng)過P板的右邊緣后，打在熒光屏上。求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B和電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x；

（3）若金屬板P和Q間只存在電場，P、Q兩板間電壓u隨時間t的變化關(guān)系如圖2所示，單位時間內(nèi)從小孔S₁進(jìn)入的電子個數(shù)為N。電子打在熒光屏上形成一條亮線。忽略電場變化產(chǎn)生的磁場；可以認(rèn)為每個電子在板P和Q間運(yùn)動過程中，兩板間的電壓恒定。

a. 試分析在一個周期（即2t₀時間）內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)是否相同。

b. 若在一個周期內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)相同，求2t₀時間內(nèi)打到單位長度亮線上的電子個數(shù)n；若不相同，試通過計(jì)算說明電子在熒光屏上的分布規(guī)律。

Answer 1

（1）根據(jù)動能定理

                                               【3分】         

   解得：  ①                                   【3分】

（2）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)圓運(yùn)動半徑為 R，在磁場中運(yùn)動軌跡如圖，由幾何關(guān)系

          

解得：                【2分】

根據(jù)牛頓第二定律：    【1分】

解得：            【1分】

設(shè)圓弧所對圓心為α，滿足： 

由此可知：  

電子離開磁場后做勻速運(yùn)動，滿足幾何關(guān)系：   【1分】

通過上式解得坐標(biāo)                                  【1分】

（3）

a. 設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場PQ中的運(yùn)動時間為t₁，PQ間的電壓為u

垂直電場方向：  ②          

平行電場方向：  ③              

此過程中電子的加速度大小   ④   

       ①、②、③、④聯(lián)立得：       【1分】

電子出偏轉(zhuǎn)電場時，在x方向的速度   

  ⑤             

電子在偏轉(zhuǎn)電場外做勻速直線運(yùn)動，設(shè)經(jīng)時 間t₂到達(dá)熒光屏。則

水平方向：  ⑥         

 豎直方向：  ⑦

①    、⑤、⑥、⑦ 聯(lián)立，解得：              【1分】          

      電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo) ⑧     【1分】

對于有電子穿過P、Q間的時間內(nèi)進(jìn)行討論：

由圖2可知，在任意時間內(nèi)，P、Q間電壓變化相等。

由⑧式可知，打在熒光屏上的電子形成的亮線長度。

所以，在任意時間內(nèi)，亮線長度相等。

由題意可知，在任意時間內(nèi)，射出的電子個數(shù)是相同的。也就是說，在任意時間內(nèi)，射出的電子都分布在相等的亮線長度范圍內(nèi)。因此，在一個周期內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)相同。       【1分】

b. 現(xiàn)討論2t₀時間內(nèi)，打到單位長度亮線上的電子個數(shù)：

當(dāng)電子在P、Q電場中的側(cè)移量x₁=時，

由得：u=2U₀                                 【1分】

當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓在0~±2U₀之間時，射入P、Q間的電子可打在熒光屏上。

由圖2可知，一個周期內(nèi)電子能從P、Q電場射出的時間

所以，一個周期內(nèi)打在熒光屏上的電子數(shù)         【1分】

由⑧式，電子打在熒光屏上的最大側(cè)移量

亮線長度L=2x_m=3l                                       【1分】

      所以，從0~2t₀時間內(nèi)，單位長度亮線上的電子數(shù)

                                         【1分】