Question

如圖1所示，M、N為豎直放置的平行金屬板，兩板間所加電壓為U₀，S₁、S₂為板上正對的小孔．金屬板P和Q水平放置在N板右側(cè)，關(guān)于小孔S₁、S₂所在直線對稱，兩板的長度和兩板間的距離均為l；距金屬板P和Q右邊緣l處有一熒光屏，熒光屏垂直于金屬板P和Q；取屏上與S₁、S₂共線的O點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為正方向建立x軸．M板左側(cè)電子槍發(fā)射出的電子經(jīng)小孔S₁進(jìn)入M、N兩板間．電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，初速度可以忽略．不計(jì)電子重力和電子之間的相互作用．
（1）求電子到達(dá)小孔S₂時(shí)的速度大小v；
（2）若板P、Q間只存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，電子剛好經(jīng)過P板的右邊緣后，打在熒光屏上．求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B和電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x；
（3）若金屬板P和Q間只存在電場，P、Q兩板間電壓u隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖2所示，單位時(shí)間內(nèi)從小孔S₁進(jìn)入的電子個數(shù)為N．電子打在熒光屏上形成一條亮線．忽略電場變化產(chǎn)生的磁場；可以認(rèn)為每個電子在板P和Q間運(yùn)動過程中，兩板間的電壓恒定．
a．試分析在一個周期（即2t₀時(shí)間）內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)是否相同．
b．若在一個周期內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)相同，求2t₀時(shí)間內(nèi)打到單位長度亮線上的電子個數(shù)n；若不相同，試通過計(jì)算說明電子在熒光屏上的分布規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）電子在加速電場中，電場力做正功，根據(jù)動能定理求電子到達(dá)小孔S₂時(shí)的速度大小v；
（2）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．電子離開磁場后做勻速運(yùn)動，由幾何關(guān)系求x；
（3）電子在電場中做類平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求得離開電場時(shí)偏轉(zhuǎn)的距離x₁．電子在偏轉(zhuǎn)電場外做勻速直線運(yùn)動，也運(yùn)用運(yùn)動的分解求出電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x．對于有電子穿過P、Q間的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行討論，在任意△t時(shí)間內(nèi)，P、Q間電壓變化△u相等，在任意△t時(shí)間內(nèi)，亮線長度△x相等．所以在一個周期內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)相同．
根據(jù)電子在P、Q電場中的側(cè)移量，求出偏轉(zhuǎn)電壓u，再求出電子打在熒光屏上的最大側(cè)移量，求出亮線的長度，即可求得單位長度亮線上的電子數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)動能定理eU0=

1

2

mv2解得：v=

2eU0 m

  ①
（2）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)圓運(yùn)動半徑為 R，
在磁場中運(yùn)動軌跡如圖1，由幾何關(guān)系R2=l2+(R-

l

2

)2
解得：R=

5

4

l
根據(jù)牛頓第二定律：Bev=m

v2

R

解得：B=

4

5l

2mU0 e

設(shè)圓弧所對圓心為α，滿足：sinα=

l

R

=

4

5

由此可知：tanα=

4

3

電子離開磁場后做勻速運(yùn)動，滿足幾何關(guān)系：

x- l 2

l

=tanα
通過上式解得坐標(biāo)x=

11

6

l
（3）a．設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場PQ中的運(yùn)動時(shí)間為t₁，PQ間的電壓為u
垂直電場方向：l=vt₁②
平行電場方向：x1=

1

2

at12  ③
此過程中電子的加速度大小 a=

eu

ml

  ④
①、②、③、④聯(lián)立得：x1=

ul

4U0

電子出偏轉(zhuǎn)電場時(shí)，在x方向的速度v_x=at₁  ⑤
電子在偏轉(zhuǎn)電場外做勻速直線運(yùn)動，設(shè)經(jīng)時(shí)間t₂到達(dá)熒光屏．則
  水平方向：l=vt₂  ⑥
  豎直方向：x₂=v_xt₂  ⑦
①、⑤、⑥、⑦聯(lián)立，解得：x2=

ul

2U0

電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x=x1+x2=

3l

4U0

u ⑧
對于有電子穿過P、Q間的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行討論：

由圖2可知，在任意△t時(shí)間內(nèi)，P、Q間電壓變化△u相等．
由⑧式可知，打在熒光屏上的電子形成的亮線長度△x=

3l

4U0

△u．
所以，在任意△t時(shí)間內(nèi)，亮線長度△x相等．
由題意可知，在任意△t時(shí)間內(nèi)，射出的電子個數(shù)是相同的．
也就是說，在任意△t時(shí)間內(nèi)，射出的電子都分布在相等的亮線長度△x范圍內(nèi)．
因此，在一個周期內(nèi)單位長度亮線上的電子個數(shù)相同．
b．現(xiàn)討論2t₀時(shí)間內(nèi)，打到單位長度亮線上的電子個數(shù)：
當(dāng)電子在P、Q電場中的側(cè)移量x₁=

l

2

時(shí)，由x1=

ul

4U0

得：u=2U₀
當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓在0～±2U₀之間時(shí)，射入P、Q間的電子可打在熒光屏上．
由圖2可知，一個周期內(nèi)電子能從P、Q電場射出的時(shí)間t=

2

3

T=

4t0

3

所以，一個周期內(nèi)打在熒光屏上的電子數(shù)Nt=

4Nt0

3

由⑧式，電子打在熒光屏上的最大側(cè)移量xm=

3l

2

亮線長度L=2x_m=3l
所以，從0～2t₀時(shí)間內(nèi)，單位長度亮線上的電子數(shù)n=

Nt

L

=

4Nt0

9l

答：
（1）電子到達(dá)小孔S₂時(shí)的速度大小v為

2eU0 m

；
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B是

4

5l

2mU0 e

，電子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)x為

11

6

l；
（3）從0～2t₀時(shí)間內(nèi)，單位長度亮線上的電子數(shù)n為

4Nt0

9l

．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子先加速后偏轉(zhuǎn)問題，電場中加速根據(jù)動能定理求解獲得的速度、偏轉(zhuǎn)電場中類平拋運(yùn)動的研究方法是運(yùn)動的分解和合成，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行分析，難度較大．