Question

（18分）內表面只反射而不吸收光的圓筒內有一半徑為R的黑球，距球心為2R處有一點光源S，球心O和光源S皆在圓筒軸線上，如圖所示．若使點光源向右半邊發出的光最后全被黑球吸收，則筒的內半徑r最大為多少？

Answer 1

解析：

自S作球的切線SM，并畫出S經管壁反射形成的虛像點，及由畫出球面的切線N，如圖1所示，由圖可看出，只要和之間有一夾角，則筒壁對從S 向右的光線的反射光線就有一部分進入球的右方，不會完全落在球上被吸收．

由圖可看出，如果r的大小恰能使與重合，如圖2，則r 就是題所要求的筒的內半徑的最大值．這時SM 與MN的交點到球心的距離MO就是所要求的筒的半徑r．由圖2可得

     （1）

由幾何關系可知

    （2）

由（1）、（2）式得

    （3）

評分標準：本題18分．

給出必要的說明占8分，求出r 占10分．