Question

【題目】光滑的圓弧軌道固定在豎直平面內，與水平軌道CE連接。水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙。一根輕質彈簧一端固定在C處的豎直面上，彈簧處于自然長度另一端恰好在D點。將質量為m的物塊從頂端F點靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑。物塊滑至D點后向左壓縮彈簧。已知圓弧軌道半徑為R， =L，物塊與DE段水平軌道的動摩擦因數為μ=0.2，重力加速度為g，物塊可視為質點。求：

（1）物塊第一次經過E點時對圓弧軌道的壓力多大

（2）若物塊不能與彈簧相碰，設物塊從E點到運動停止所用的時間為t，求R得取值范圍及t與R的關系式。

（3）如果物塊能與彈簧相碰，但不能返回道圓弧部分，設壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為Ep，求R的取值范圍及Ep與R的關系式（彈簧始終在彈性限度內）。

Answer 1

【答案】（1）（2）R=0.2L （3）0.2L≤R≤0.4L

【解析】試題分析：根據機械能守恒定律求出物塊第一次經過E點時的速度．物塊經過E點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據牛頓運動定律求解物塊第一次經過E點時對軌道的壓力．設物塊恰好不能與彈簧相碰時，圓弧軌道半徑為R1，從F到D由動能定理解得R1，得出物塊不能與彈簧相碰R必須滿足的條件以及物塊要能與彈簧相碰R必須滿足的條件，設物塊恰好到達E點時，圓弧軌道半徑為R2，從F到E由動能定理求范圍．

（1）從F到E對物塊由動能定理有： ，解得

在E點對物塊由牛頓第二定律有，解得

由牛頓第三定律有

（2）設物塊恰好不能與彈簧相碰時，圓弧軌道半徑為

從F到D由動能定理有： ，解得：

則物塊不能與彈簧相碰R必須滿足

對物塊由牛頓第二定律有： 解得

則物塊從E點到運動停止所用的時間為

（3）由（2）可知物塊要能與彈簧相碰，

設物塊恰好到達E點時，圓弧軌道半徑為

從F到E由動能定理有： ，解得

則R的范圍是：

從F點到彈簧壓縮得最短，對物塊與彈簧組成的系統，由能量守恒定律有： ，解得