Question

小球b靜止在高度為H=1m的光滑平臺上A處，另一小球a以水平向右的初速度v₀=6m/s與小球b發生無動能損失的正碰，設a、b碰撞時間極短．小球a、b的質量分別為m_a=1kg和m_b=2kg．小球b碰后沿著一段粗糙的曲面進入一半徑為R=0.4m的光滑豎直圓軌道中恰能通過最高點C．（g=10m/s²）求：
（1）小球b通過圓軌道最低點B時對軌道的壓力大小．
（2）小球b在粗糙曲面上運動過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：小球ab碰撞過程中同時滿足動量守恒和動能守恒，由此列式計算可以求出a、b兩球碰撞后的速度；小球B在光滑圓軌道中恰能通過最高點C，說明此時重力提供向心力，由此可以求出在最高點C小球的速度v_C，因為在圓軌道上運動，根據機械能守恒條件可以算出小球在最低點B時對速度，根據牛頓第二定律，在最低點小球受到的合外力提供向心力，可以求出b通過圓軌道最低點B時對軌道的壓力大小．小球碰撞后到光滑圓軌道最低點B的過程中，運用動能量定理可以求出克服摩擦力所做的功W．

解答：解：（1）設小球a、b碰后的速度分別為v₁和v₂，由動量守恒和碰撞前后系統動能相等：
m_av₀=m_av₁+m_bv₂           ①

1

2

mav02=

1

2

mav12+

1

2

mbv22    ②
 解①和②得：v₁=-2m/s，v₂=4m/s 
∵v₁=-2m/s說明碰后小球a反方向向左運動，小球b以v₂=4m/s的初速度沿曲面向下進入圓軌道，在圓軌道最高點由重力提供向心力得：
mbg=mb

v高2

R

得小球在最高點C的速度v高=

gR

 
 小球b從最低點到最高點的運動過程中，由機械能守恒得：

1

2

mbv低2=

1

2

mbv高2+2mbgR
解得：v低=

5gR

在最低點時，小球受到地面的支持力和重力的合力提供向心力：
FN-mbg=mb

v低2

R

得：
FN=mb

v低2

R

+mbg=2×

( 5gR )2

R

+2×10N=120N   
（2）設在曲面上，摩擦力對小球b做功W，小球b從碰后到最低點的運動過程中，由動能定理得：
mbgH+W=

1

2

mbv低2-

1

2

mbv22        
由（1）分析得v底=

5gR

=

5×10×0.4

=

20

m/s，v₂=4m/s，代入解得：
 W=-16J 
即：小球克服摩擦力做功16J．
答：（1）小球b通過圓軌道最低點B時對軌道的壓力大小為120N；
（2）小球b在粗糙曲面上運動過程中克服摩擦力做的功為16J．

點評：小球碰撞中過程中動量守恒，在豎直平面內做圓周運動的最高點和最低點，合外力提供向心力．