Question

（2009?金山區二模）如圖所示，長為L的細繩，一端系有一質量為m的小球，另一端固定在O點．細繩能夠承受的最大拉力為7mg．現將小球拉至細繩呈水平位置，然后由靜止釋放，小球將在豎直平面內擺動．如果在豎直平面內直線OA（OA與豎直方向的夾角為θ）上某一點O′釘一個小釘，為使小球可繞O′點在豎直平面內做圓周運動，且細繩不致被拉斷，求：OO′的長度d所允許的范圍．

Answer 1

分析：設小球繞O點在豎直面內做完整圓周運動的半徑為r，恰能過最高點時速度為v_D，根據向心力公式求出最高點速度，由水平到最高點，由機械能守恒定律求得最大半徑，對小球在小圓最低點時由向心力公式結合機械能守恒定律出最小半徑，進而求出半徑的范圍，由于d=L-r，即可求出d的范圍．

解答：解：為使小球能繞O′點做完整的圓周運動，則小球在最高點D對繩的拉力F₁應該大于或等于零，即有：mg≤m

V 2 D

L-d

①
根據機械能守恒定律可得：

1

2

m

V

2 D

=mg[dcosθ-(L-d)]②
因為小球在最低點C對繩的拉力F₂應該小于或等于7mg，即有：F2-mg=m

V 2 c

L-d

≤7mg-mg③
根據機械能守恒定律可得：

1

2

m

V

2 c

=mg[dcosθ+(L-d)]④
由①②③④式解得：

3L

3+2cosθ

≤d≤

2L

2+cosθ

．     
答：OO′的長度d所允許的范圍為

3L

3+2cosθ

≤d≤

2L

2+cosθ

．

點評：本題主要考查了機械能定理及向心力公式的應用，要注意小球能最高點對速度有要求，在最低時繩子的拉力不能超過最大承受力，難度適中．