Question

如圖所示，在xOy 坐標系內有垂直紙面向外的范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度的大小為B．在t=0 時刻有兩個粒子N、P分別從坐標原點O及坐標（ L，0）點開始運動．N粒子帶正電，電量為q，質量為m，速度大小為v_n、方向為在xOy 平面內的所有可能的方向；P粒子不帶電，其速度大小為v_P．方向為在xOy 平面內且與x 軸的負方向的夾角為q．兩粒子所受的重力不計．
（1）對于Vn有一臨界值v，當v_n＜v 時，兩個粒子不可能相遇，求臨界值可的大小；
（2）若兩個粒子相遇的位置在y軸上，且已知q=30°，L=

3

m，m=6.4×10^-27kg，q=3.2×10^-19 C，v_n=1.15π?10⁷m/s，v_P=3?10⁶ m/s．求v_n的方向與y 軸正方向的夾角β

Answer 1

分析：（1）P粒子不帶電，做勻速直線運動，N粒子帶正電，做勻速圓周運動，臨界狀態是兩者軌跡相切的情況，根據洛倫茲力提供向心力公式及幾何關系即可求解速度；
（2）根據幾何關系求出圓周運動的半徑，相遇的時間為P粒子運動的時間，再結合周期公式分N粒子的軌跡為優弧和劣弧兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）臨界情況如圖所示：
洛倫茲力提供向心力，則有：
Bqv=m

v2

R

解得：R=

mv

Bq

根據幾何關系有：
2R=Lsinθ
則v=

BqLsinθ

2m

（2）由作圖及幾何關系可知，N粒子做圓周運動的半徑為R=1m
N粒子做圓周運動的周期T=

2πR

vn

=

4×10-7

2.3

s
相遇的時刻t=

sp

vp

=

2

3×106

=

2

3

×10-6s  ①
若N粒子的軌跡為劣弧，則t=

2kπ+ π 3

2π

?T（k=0，1，2…）②
若N粒子的軌跡為優弧，則t=

2kπ+ 5π 3

2π

?T（k=0，1，2…）③
由①③兩式解得：k=3
由①②兩式k無整數解．
因此N粒子的軌跡為優弧，v_n的方向與y軸正方向的夾角為β=150°
答：（1）臨界值的大小為

BqLsinθ

2m

；
（2）v_n的方向與y 軸正方向的夾角β為150°

點評：本題是帶電粒子在磁場中圓周運動的問題，關鍵是運用數學知識分析兩個粒子之間運動周期和軌跡半徑的關系，考查運用數學知識處理物理問題的能力．