Question

如圖所示，在光滑水平面的右端A處有一固定擋板P，擋板上固定一個(gè)輕質(zhì)彈簧，在左測(cè)距擋板足夠遠(yuǎn)處的B點(diǎn)豎直固定一半徑為R的半圓形光滑軌道，在半圓軌道的頂端C處安裝有壓力傳感器，用以記錄到達(dá)此處的物體對(duì)軌道頂端的壓力大小。將一質(zhì)量為m的小球，放置在彈簧左側(cè)并用力向右壓彈簧，由靜止釋放，小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由壓力傳感器感知并通過計(jì)算機(jī)瞬間記錄小球?qū)�C點(diǎn)的壓力大小F，之后小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，落點(diǎn)與B點(diǎn)間的水平距離為x，改變最初彈簧的壓縮量，并仍由靜止釋放小球，從而得到不同的F與x的值，如圖所示為這一過程中F—x²圖線，由此請(qǐng)回答：(g=10m/s²)

（１）求小球的質(zhì)量與圓弧軌道的半徑。

（２）由題意，并根據(jù)實(shí)際情況作出彈簧的彈性勢(shì)能與x²的關(guān)系圖線，并通過計(jì)算標(biāo)出圖線與直線x²=0和x²=4的交點(diǎn)的E_P值。

Answer 1

【小題１】（1）m=0.2,kg     R=1m.

【小題2】（2）

解析:

【小題1】(1)       設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v,

           則此時(shí)，由牛頓第二定律得  

         小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上有

                                    在水平方向上有 

   以上各式聯(lián)立，得    由圖線可知，mg=2N  所以m=0.2,kg

                                                      所以R=1m.

【小題2】 （2） 設(shè)小球被彈簧彈開時(shí)獲得的速度大小為v₀，

則對(duì)彈簧彈開的過程，由能量守恒得；

                              

                      小球由B到C的過程，由功能關(guān)系得：

                      

 以上兩式與上問中的幾式聯(lián)立，可得

 

  以上各式聯(lián)立可得   將(1)中得出的m和R的數(shù)值代入該式得

                               

且當(dāng)小球恰好可通過C點(diǎn)對(duì)軌道恰好無壓力，此時(shí)由牛頓第二定律得

      

            小球接下來做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最小為      

     以上各式聯(lián)立可得  水平位移的最小值為 

             此狀態(tài)對(duì)應(yīng)的最小彈性勢(shì)能為E_P=5J  

由以上計(jì)算，結(jié)合實(shí)際情況可畫出圖線如圖

。