Question

【題目】如圖所示，在邊長為的正方形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為。在正方形對角線上有一點，到距離均為，在點有一個能連續發射正離子的裝置，且所有正離子的質量均為、電荷量均為。不計離子重力及離子間相互作用力。

（1）若由點水平向右射出一正離子，恰好從點射出，求該離子的速度大小及在磁場中運動的時間；

（2）若由點連續不斷地向紙面內各方向發射速率均為的正離子，求在邊有離子射出的區域長度。

Answer 1

【答案】（1） ， （2）

【解析】

根據題圖可知，考查了帶電粒子在勻強磁場中的運動，根據帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，確定粒子的運動軌跡，找出幾何關系進行求解；

（1）畫出離子的運動軌跡，確定圓心和半徑，根據洛倫茲力提供向心力進行求解；

（2）發射速率不變，即圓周運動的運動半徑不變，分析找出臨界狀態的粒子即可確定射出的區域長度。

（1）離子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，其運動軌跡如圖：

由圖知：

洛倫茲力提供向心力：

解得：，

運動周期：

離子運動時間：

（2）當時，設離子在磁場中做圓周運動的半徑為，

則由

可得：

要使離子從射出，則其必不能從射出，其臨界狀態是離子軌跡與邊相切，設切

點與點距離為，其軌跡如圖甲所示，

由幾何關系得：

計算可得，

設此時邊射出點與點的距離為，則由幾何關系有：，

解得

（說明：若直接由軌跡圖形的對稱性得也可。）

而當離子軌跡與邊相切時，離子必將從邊射出，設此時切點與點距離為，其軌跡如圖乙所示，由幾何關系可得，

解得，

故離子在邊射出的區域長度