Question

如圖，某一新型發電裝置的發電管是橫截面為矩形的水平管道，管道的長為L、寬度為d、高為h，上下兩面是絕緣板，前后兩側面M、N是電阻可忽略的導體板，兩導體板與開關S和定值電阻R相連。整個管道置于磁感應強度大小為B，方向沿z軸正方向的勻強磁場中。管道內始終充滿電阻率為ρ的導電液體（有大量的正、負離子），且開關閉合前后，液體在管道進、出口兩端壓強差的作用下，均以恒定速率v₀沿x軸正向流動，液體所受的摩擦阻力不變。

（1）求開關閉合前，M、N兩板間的電勢差大小U₀；
（2）求開關閉合前后，管道兩端壓強差的變化Δp；
（3）調整矩形管道的寬和高，但保持其它量和矩形管道的橫截面S=dh不變，求電阻R可獲得的最大功率P_m及相應的寬高比d/h的值。

Answer 1

（1） （2） （3）

試題分析：（1）設帶電離子所帶的電量位q，當其所受的洛倫茲力與電場力平衡時，U₀保持恒定，有

得：
（2）設開關閉合前后，管道兩端壓強差分別為p₁、p₂，液體所受的摩擦阻力均為f，開關閉合后管道內液體受到的安培力為F安，有：p₁hd=f，p₂hd=f+F_安，F_安=Bid
根據歐姆定律，有
兩道題板間液體的電阻
聯立解得：
（3）電阻R獲得的功率為：，，當時
電阻R獲得的最大功率