Question

【題目】宇宙中存在質量相等的四顆星組成的四星系統，這些系統一般離其他恒星較遠，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．四星系統通常有兩種構成形式：一是三顆星繞另一顆中心星運動（三繞一），二是四顆星穩定地分布在正方形的四個頂點上運動．若每個星體的質量均為m，引力常量為G．

（1）分析說明三繞一應該具有怎樣的空間結構模式．

（2）若相鄰星球的最小距離為a，求兩種構成形式下天體運動的周期之比．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）三顆星繞另一顆中心星運動時，其中任意一個繞行的星球受到的另三個星球的萬有引力的合力提供向心力，三個繞行星球的向心力一定指向同一點，且中心星受力平衡，由于星球質量相等，具有對稱關系，因此向心力一定指向中心星，繞行星一定分布在以中心星為中心的等邊三角形的三個頂點上，如圖甲所示．

（2）對三繞一模式，三顆星繞行軌道半徑均為a，所受合力等于向心力，因此有

2·Gcos 30°＋G＝ma

解得T＝

對正方形模式，如圖乙所示，四星的軌道半徑均為a，同理有2·Gcos 45°＋G＝m·a

解得T＝

故＝