Question

如圖所示，水平細桿MN、CD，長度均為L。兩桿間距離為h，M、C兩端與半圓形細桿相連，半圓形細桿與MN、CD在同一豎直平面內，且MN、CD恰為半圓弧在M、C兩點處的切線。質量為m的帶正電的小球P，電荷量為q，穿在細桿上，已知小球P與兩水平細桿間的動摩擦因數為μ，小球P與半圓形細桿之間的摩擦不計，小球P與細桿之間相互絕緣。

（1）若整個裝置處在方向與之垂直、磁感應強度為B的勻強磁場中，如圖（甲）所示。小球P以一定的初速度v₀從D端出發，沿桿滑到M點以后恰好在細桿MN上勻速運動。求：

①小球P在細桿MN上滑行的速度； 

②小球P滑過DC桿的過程中克服摩擦力所做的功；

（2）撤去磁場，在MD、NC連線的交點Ｏ處固定一電荷量為Q的負電荷，如圖（乙）所示，使小球P從D端出發沿桿滑動，滑到N點時速度恰好為零。(已知小球所受庫侖力始終小于重力)求：

①小球P在水平細桿MN或CD上滑動時所受摩擦力的最大值和最小值；

②小球P從D端出發時的初速度。

      

Answer 1

（1）①根據到M點以后恰好做勻速運動，可知小球P所受洛侖茲力與重力平衡，即，則

②根據動能定理，小球P在沿DCM滑動過程中：

 

 

（2）①小球在O點正下方時摩擦力最小，f_min＝mN_min＝m（mg－4kQq/h²），…2^’

   小球在O點正上方時摩擦力最大，f_max＝mN_max＝m（mg＋4kQq/h²）。…2^’

②利用對稱性及微元法：DW_f＝m（mg－F_y）Ds＋m（mg＋F_y）Ds＝2mmgDs，

所以W_f＝DW₁＋DW₂＋¼¼＝2mmgL，

又因為小球P在D點和N點電勢能相等，所以從D到N，

則mv₀²＝mgh＋2mmgL

v₀＝