Question

【題目】如圖所示為某種彈射裝置的示意圖，該裝置由三部分組成，傳送帶左邊是足夠長的光滑水平面，一輕質彈簧左端固定，右端連接著質量M=6.0kg的物塊A。裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺面等高，并能平滑對接。傳送帶的皮帶輪逆時針勻速轉動，使傳送帶上表面以u=2.0m/s勻速運動。傳送帶的右邊是一半徑R=1.25m位于豎直平面內的光滑圓弧軌道。質量m=2.0kg的物塊B從圓弧的最高處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.1，傳送帶兩軸之間的距離l=4.5m。設第一次碰撞前，物塊A靜止，物塊B與A發生碰撞后被彈回，物塊A、B的速度大小均等于B的碰撞前的速度的一半。取g=10m/s2。求：

(1)物塊B滑到圓弧的最低點C時對軌道的壓力；

(2)物塊B與物塊A第一次碰撞后彈簧的最大彈性勢能；

(3)如果物塊A、B每次碰撞后，物塊A再回到平衡位置時彈簧都會被立即鎖定，而當它們再次碰撞前鎖定被解除，求物塊B經第一次與物塊A碰撞后在傳送帶上運動的總時間。

Answer 1

【答案】（1）60N，豎直向下（2）12J（3）8s

【解析】

(1) 設物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時的速度大小為v0，由機械能守恒定律得：

代入數據解得：

v0=5m/s

在圓弧最低點C，由牛頓第二定律得：

代入數據解得：

F=60N

由牛頓第三定律可知，物塊B對軌道的壓力大小：F′=F=60N，方向：豎直向下；

(2) 在傳送帶上，對物塊B，由牛頓第二定律得：

μmg=ma

設物塊B通過傳送帶后運動速度大小為v，有

代入數據解得：

v=4m/s

由于v＞u=2m/s，所以v=4m/s即為物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小，設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v2、v1，兩物塊碰撞過程系統動量守恒，以向左為正方向，由動量守恒定律得：

mv=mv1+Mv2

由機械能守恒定律得：

解得：

物塊A的速度為零時彈簧壓縮量最大，彈簧彈性勢能最大，由能量守恒定律得：

(3) 碰撞后物塊B沿水平臺面向右勻速運動，設物塊B在傳送帶上向右運動的最大位移為l′，由動能定理得

解得：

l′=2m＜4.5m

所以物塊B不能通過傳送帶運動到右邊的曲面上，當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后，將會沿傳送帶向左加速運動，可以判斷，物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為v1′=2m/s，繼而與物塊A發生第二次碰撞。設第1次碰撞到第2次碰撞之間，物塊B在傳送帶運動的時間為t1。由動量定理得：

解得：

設物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為v4、v3，取向左為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律得：

代入數據解得：

當物塊B在傳送帶上向右運動的速度為零后，將會沿傳送帶向左加速運動，可以判斷，物塊B運動到左邊臺面時的速度大小為v3′=1m/s，繼而與物塊A發生第2次碰撞，則第2次碰撞到第3次碰撞之間，物塊B在傳送帶運動的時間為t2．由動量定理得：

解得：

同上計算可知：物塊B與物塊A第三次碰撞、第四次碰撞…，第n次碰撞后物塊B在傳送帶運動的時間為

構成無窮等比數列，公比，由無窮等比數列求和公式

當n→∞時，有物塊B經第一次與物塊A碰撞后在傳送帶運動的總時間為