Question

如圖所示，電子顯像管由電子槍、加速電場、偏轉(zhuǎn)磁場及熒光屏組成．在加速電場右側(cè)有相距為d、長為l的兩平板，兩平板構(gòu)成的矩形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的右邊界與熒光屏之間的距離也為d．熒光屏中點O與加速電極上兩小孔S₁、S₂位于兩板的中線上．從電子槍發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為-e的電子，經(jīng)電壓為U₀的加速電場后從小孔S₂射出，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，最后打到熒光屏上．若l=

3

2

d，不計電子在進入加速電場前的速度．
（1）求電子進入磁場時的速度大小；
（2）求電子到達熒光屏的位置與O點距離的最大值y_m和磁感應(yīng)強度B的大小；
（3）若撤去磁場，在原磁場區(qū)域加上間距仍為d的上、下極板構(gòu)成的偏轉(zhuǎn)電極，加速電極右側(cè)與偏轉(zhuǎn)電極緊靠．為了使電子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后到達熒光屏上的位置與經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)的最大值相同．在保持O與S₂距離不變，允許改變板長的前提下，求所加偏轉(zhuǎn)電壓的最小值．

Answer 1

分析：（1）電子經(jīng)電場加速后的速度可以通過動能定理求得；
（2）電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，沿直線運動到熒光屏，電子偏轉(zhuǎn)的臨界狀態(tài)是恰好不撞在上板的右端，到達熒光屏的位置與O點距離即為最大值，磁感應(yīng)強度可以通過圓周運動向心力公式和幾何關(guān)系求得；
（3）電子在電場中做曲線運動，在電場外做勻速直線運動．對恰好能通過板右端點的電子在熒光屏上的位置離O點最大，且為最大值的情況，可通過牛頓運動定律，勻變速直線運動的速度位移公式及幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)電子經(jīng)電場加速后的速度大小為v₀，由動能定理得
  eU0=

1

2

mv02                                     
  v0=

2eU0 m

                                         
（2）電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，沿直線運動到熒光屏，電子偏轉(zhuǎn)的臨界狀態(tài)是恰好不撞在上板的右端，到達熒光屏的位置與O點距離即為最大值y_m，如圖所示，有
  ev0B=

mv02

R

                     
   (R-

d

2

)2+l2=R2                             
  tanα=

l

R- d 2

=tanθ=

ym- d 2

d

                                    
注意到 l=

3d

2

，v0=

2eU0 m

，聯(lián)立上式可得
  R=

5d

2

 ym=

5d

4

                                                           
 B=

2mv0

5ed

=

2

5d

2mU0 e

                                                
（3）電子在電場中做曲線運動，在電場外做勻速直線運動．對恰好能通過板右端點的電子在熒光屏上的位置離O點最大，且為y_m的情況．設(shè)極板長度為l?，有
      tanθ=

vy

vx

=

ym- d 2

l+d-l′

            ⑧
其中
    vx=vy=

2eU0 m

                                                   ⑨
    v_y=at                                                            ⑩
其中
    a=

F

m

=

eU

md

                                                                                               
    vy2=2a

d

2

=ad                                                 
 解得     l′=

10d

7

                                                       
若增大l?，則無論加多大電壓，電子在熒光屏上的偏移不能達到y(tǒng)_m，當(dāng)減小l?，
若保持電壓U不變，則電子在熒光屏上的偏移也不能達到y(tǒng)_m，只有增大電壓才有可能實現(xiàn)．
因此，要使電子在熒光屏上的偏移達到y(tǒng)_m對應(yīng)電壓的最小值為：
   Umin=

2U0d2

l′2

   Umin=

49U0

50

=0.98U0
答：（1）電子進入磁場時的速度大小為

2eU0 m

；（2）電子到達熒光屏的位置與O點距離的最大值y_m為

5d

4

，磁感應(yīng)強度B的大小為

2

5d

2mU0 e

；（3）所加偏轉(zhuǎn)電壓的最小值為0.98U₀．

點評：該題涉及到帶電粒子在電場和磁場的運動情況，對同學(xué)們的分析能力和數(shù)學(xué)功底要求較高，難度很大，屬于難題．