Question

質量為m的小球固定在光滑輕細桿的上端，細桿通過光滑限位孔保持豎直．在光滑水平面上放置一質量為M=2m的凹形槽，凹形槽的光滑內表面如圖所示，AB部分是斜面，與水平面成θ=30°，BCD部分是半徑為R的圓弧面，AB與BCD兩面在B處相切．讓細桿的下端與凹形槽口的左邊緣A點接觸．現將小球釋放，求：
（1）當輕細桿的下端滑到凹形槽的最低點C時，凹形槽的速度是多大．
（2）當輕細桿的下端滑到B點的瞬間，小球和凹形槽的速度各是多大．

Answer 1

分析：（1）當輕細桿的下端運動到最低點C時，小球的速度為零．以小球和凹形槽組成的系統，機械能守恒，根據機械能守恒定律求出凹形槽的速度．
（2）當輕細桿的下端滑到B點的瞬間，取極短時間△t，認為小球和凹形槽都做勻速運動，由△t時間內位移關系得到小球的速度v₁與凹形槽的速度v₂之間的關系，再由系統機械能守恒求出兩個物體的速度．

解答：解：
（1）當輕細桿的下端運動到最低點C時，小球的速度為零，小球減少的重力勢能轉化為凹形槽的動能，由能量轉化守恒定律mgR=

1

2

M

v

2

又 M=2m   
得凹形槽的速度：v =

gR

（2）當輕細桿的下端從A點相對滑動到B點時，取極短時間△t，認為小球和凹形槽都做勻速運動，由△t時間內位移關系得到v₁△t=v₂△ttanθ
小球的速度v₁與凹形槽的速度v₂之間的關系如圖所示：
得：v₁=v₂tanθ
由系統能量轉化守恒定律mgRcosθ=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

又M=2m
解得：v1=

3 gR 7

，v2=

3 3 gR 7

答；
（1）當輕細桿的下端滑到凹形槽的最低點C時，凹形槽的速度是v =

gR

．
（2）當輕細桿的下端滑到B點的瞬間，小球和凹 形槽的速度各是v1=

3 gR 7

，v2=

3 3 gR 7

．

點評：本題難點在于分析小球的速度與凹形槽的速度的關系，關鍵從位移關系理解速度關系．