Question

如圖甲所示，兩平行金屬板的板長l＝0.20m，板間距d＝6.0×10^－2m，在金屬板右側有一范圍足夠大的方向垂直于紙面向里的勻強磁場，其邊界為MN，與金屬板垂直。金屬板的下極板接地，上極板的電壓u隨時間變化的圖線如圖乙所示，勻強磁場的磁感應強度B＝1.0×10^－2T。現有帶正電的粒子以v₀＝5.0×10⁵m/s的速度沿兩板間的中線OO^' 連續進入電場，經電場后射入磁場。已知帶電粒子的比荷＝10⁸C/kg，粒子的重力忽略不計，假設在粒子通過電場區域的極短時間內極板間的電壓可以看作不變，不計粒子間的作用（計算中取）。


（1）求t＝0時刻進入的粒子，經邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離；
（2）求t＝0.30s時刻進入的粒子，在磁場中運動的時間；
（3）試證明：在以上裝置不變時，以v₀射入電場比荷相同的帶電粒子，經邊界MN射入磁場和射出磁場時兩點間的距離都相等。
 

Answer 1

（1） 1.0m       （2）2.6×10^－6s                        
 
 
（3）證明：設帶電粒子射入磁場時的速度為v，帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為r

進入磁場時帶電粒子速度的方向與初速度的方向的夾角為α
  
由幾何關系可知，帶電粒子在磁場中運動的圓弧所對的圓心角為φ＝π－2α，帶電粒子在磁場中的圓滑所對的弦長為s，

從上式可知弦長s取決于磁感應強度、粒子的比荷及初速度，而與電場無關。

（1）（6分）t＝0時，u＝0，帶電粒子在極板間不偏轉，水平射入磁場，

  
s＝2r＝1.0m                         
（2）（8分）帶電粒子在勻強電場中水平方向的速度
v₀＝5.0×10⁵m/s
豎直方向的速度為    
所以進入磁場時速度與初速度方向的夾角為α。如圖所示：
 

解得    
由幾何關系可知，帶電粒子在磁場中運動的圓弧所對的圓心角為φ，即為，設帶電粒子在磁場中運動的時間為t，所以    
（3）（6分）證明：設帶電粒子射入磁場時的速度為v，帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為r

進入磁場時帶電粒子速度的方向與初速度的方向的夾角為α
  
由幾何關系可知，帶電粒子在磁場中運動的圓弧所對的圓心角為φ＝π－2α，帶電粒子在磁場中的圓滑所對的弦長為s，

從上式可知弦長s取決于磁感應強度、粒子的比荷及初速度，而與電場無關。