Question

如圖所示，一質量不計的輕質彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子A放在傾角為θ=30⁰的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上．盒子內裝一個光滑小球，盒子內腔為正方體，一直徑略小于此正方形邊長的金屬圓球B恰好能放在盒內，已知彈簧勁度系數為k=100N/m，盒子A和金屬圓球B質量均為1kg．，將A沿斜面向上提起，使彈簧從自然長度伸長10cm，從靜止釋放盒子A，A和B一起在斜面上做簡諧振動，g取10m/s²，求：
（1）盒子A的振幅．
（2）金屬圓球B的最大速度．（彈簧型變量相同時彈性勢能相等）
（3）盒子運動到最高點時，盒子A對金屬圓球B的作用力大小．

Answer 1

分析：（1）盒子處于平衡位置時，重力沿斜面向下的分力與彈簧的彈力相等，求出在平衡位置時彈簧的形變量，振幅等于離開平衡位置的最大距離．
（2）在平衡位置時，盒子和小球整體的速度最大，根據系統機械能守恒求出金屬圓球的最大速度．
（3）在最高點，對整體分析，根據牛頓第二定律求出加速度，再隔離分析，運用牛頓第二定律求出盒子A對金屬圓球B的作用力大小．

解答：解：（1）振子在平衡位置時，所受合力為零，
設此時彈簧被壓縮△x
（m_A+m_B）gsinθ=k△x．
解得△x=

(mA+mB)gsinθ

k

=

20× 1 2

100

=0.1m=10cm．
釋 放時振子處在最大位移處，故振幅A為：A=10cm+10cm=20cm
（2）由于開始時彈簧的伸長量恰等于振子在平衡位置時彈簧的壓縮量，
故彈簧勢能相等，設振子的最大速率為v，
從開始到平衡位置，根據機械能守恒定律：
(mA+mB)gA?sinθ=

1

2

(mA+mB)v2
解得v=

2gAsinθ

=

2×10×0.2× 1 2

m/s=1.4m/s．
（3）在最高點振子受到的重力分力和彈力方向相同，根據牛頓第二定律：
a=

k△x+(mA+mB)gsinθ

mA+mB

=10m/s²．
A對B的作用力方向向下，其大小F_N為：F_N1=m_Ba-m_Bgsinθ=5N．
答：（1）盒子A的振幅為20cm．
（2）金屬圓球B的最大速度為1.4m/s．
（3）盒子運動到最高點時，盒子A對金屬圓球B的作用力大小為5N．

點評：對于簡諧運動的振幅，往往根據定義去分析求解．本題的技巧在于運用簡諧運動的對稱性．中等難度．