Question

（2007?茂名一模）當(dāng)物體從高空下落時，空氣阻力（不計空氣的浮力）會隨物體的速度增大而增大，因此經(jīng)過一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的終極速度．研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條件下，球形物體的終極速度僅與球的半徑和質(zhì)量有關(guān)（g取10m/s²）下表是某次研究的實驗數(shù)據(jù)：

小球編號	A	B	C	D
小球的半徑（×10-2m）	0.5	0.5	1.0	1.5
小球的質(zhì)量（×10-3kg）	2	5	5	45
小球的終極速度（m/s）	16	40	10	40

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出C球與D球在達到終極速度時所受的空氣阻力之比f_C：f_D
（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，歸納出球形物體所受空氣阻力f與球的終極速度v及球的半徑r的關(guān)系，寫出表達式并求出比例系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）勻速時重力和阻力平衡，求解重力之比即可；
（2）用控制變量法研究，即先控制半徑一定，看速度與質(zhì)量關(guān)系；再控制速度一定，研究質(zhì)量與半徑關(guān)系．

解答：解：（1）球在達到終極速度時為平衡狀態(tài)．
空氣阻力f=mg   
空氣阻力之比f_C：f_D=m_C：m_D=1：9  
（2）對于每個球，在達到終極速度時，阻力與質(zhì)量成正比．
對于A、B球，半徑相同，由A、B球數(shù)據(jù)可知，質(zhì)量與終極速度成正比，從而可得，阻力與終極速度成正比．
同理由B、D兩球數(shù)據(jù)分析可知阻力與半徑的平方成正比；
可得   f=Kvr² 
對A、B、C、D四球都可得：k=

f

vr2

=50 NS/m³ 
答：（1）C球與D球在達到終極速度時所受的空氣阻力之比為1：9；
（2）球形物體所受空氣阻力f與球的終極速度v及球的半徑r的關(guān)系為f=Kvr²，比例系數(shù)為50 NS/m³．

點評：本題關(guān)鍵是通過表格數(shù)據(jù)研究收尾速度與半徑和質(zhì)量的關(guān)系，要用控制變量法．