Question

【題目】有一傾角θ=37°的硬桿，其上套有一下端固定于O點，勁度系數為k=100N/m的輕彈簧，彈簧的自由端位于硬桿上的Q處．硬桿OQ部分光滑，PQ部分粗糙，彈簧與桿間無摩擦．一個質量為m=1kg的小球套在此硬桿上，從P點由靜止開始滑下，已知小球與硬桿間的動摩擦因數為μ=0.5，PQ間的距離為L=0.91m．彈簧的彈性勢能與其形變量x的關系為Ep= kx2 ， 不計空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時的能量損失．（已知g=10m/s2 ， sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ）．求：

（1）小球在運動過程中達到最大速度時彈簧的形變量是多少；
（2）小球在運動過程中所能達到的最大速度vm；
（3）經過較長的時間后，系統能夠處于穩定狀態．試對這一穩定狀態作簡單描述．并求出整個過程中因摩擦而產生的熱能．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當小球從P點無初速滑下時，彈簧被壓縮至x處時小球的加速度為零，速度有最大值，因為硬桿OQ部分光滑，則有：

mgsinθ=kx代入數據得：x=0.06m

（2）

解：小球由P點無初速滑下至彈簧被壓縮至x=0.06m處的過程中，對小球運用功能關系，有：

mgsinθ（l+x）﹣μmgcosθl﹣W彈=

又 W彈= kx2

即：mgsinθ（l+x）﹣μmgcosθl﹣ kx2=

代入數據得：vm=2m/s

（3）

解：經過較長的時間后，小球將在Q點以下做來回往復式運動，小球的機械能與彈簧的彈性勢能相互轉化，整個系統處于穩定狀態．在不計空氣的阻力做功及小球與彈簧碰撞時的能量損失的情況下，全過程中系統的機械能減小量即為整個過程中因摩擦而產生的熱能． 有：Q=mglsinθ=5.46J

【解析】（1）當加速度為零時小球的速度最大，由平衡條件和胡克定律結合求彈簧的形變量．（2）小球由P點無初速滑下至彈簧被壓縮至最大的過程中，對小球運用功能關系列式，可求得最大速度vm ． （3）經過較長的時間后，小球將在Q點以下做來回往復式運動，小球的機械能與彈簧的彈性勢能相互轉化，整個系統處于穩定狀態．根據能量守恒求．
【考點精析】本題主要考查了功能關系的相關知識點，需要掌握當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1才能正確解答此題．