Question

【題目】如圖所示，兩根間距為L的金屬導軌MN和PQ，電阻不計，左端彎曲部分光滑，水平部分導軌與導體棒間的滑動摩擦因數為μ，水平導軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強磁場Ⅰ，右端有另一勻強磁場Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場的磁感強度大小均為B0 ，相隔的距離也為d。有兩根質量為m的金屬棒a和b與導軌垂直放置，金屬棒a電阻為R，金屬棒b電阻為r，b棒置于磁場Ⅱ中點C、D處。若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現將a棒從彎曲導軌上某一高處由靜止釋放并沿導軌運動。

（1）當a棒在磁場Ⅰ中運動時，若要使b棒在導軌上保持靜止，則a棒剛釋放時的高度應小于某一值h0，求h0的大小；

（2）若將a棒從彎曲導軌上高度為h（h<h0）處由靜止釋放，a棒恰好能運動到磁場Ⅱ的左邊界處停止，求此過程中金屬棒b上產生的電熱Qb；

（3）若將a棒仍從彎曲導軌上高度為h（h<h0）處由靜止釋放，為使a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間而變化，將a棒剛進入磁場Ⅰ的時刻記為t＝0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度為B0，試求出在a棒通過磁場Ⅰ的這段時間里，磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式。

Answer 1

【答案】(1) （2）(mgh－μmg2d)r/(R+r) （3）

【解析】試題分析：根據b棒受力平衡求出電流的大小，通過閉合電路歐姆定律求出感應電動勢的大小，從而求出a棒的速度，根據機械能守恒定律求出a棒下降的高度；由全過程能量守恒與轉化規律求出總熱量，再根據電阻間的關系求出金屬棒b上產生的電熱；棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，即整個回路中的磁通量不變。a棒進入磁場做勻減速直線運動，b棒靜止，根據磁通量不變求出磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式。

（1）因為a棒進入磁場Ⅰ后做減速運動，所以只要剛進入時b棒不動，b就可以靜止不動．對對a棒：由機械能守恒：

根據閉合電路歐姆定律：

感應電動勢為：E＝B0Lv0

對b棒：B0IL＝μmg

聯立解得：

（2）由全過程能量守恒與轉化規律：mgh＝μmg2d＋Q

總熱量為：Q=(mgh－μmg2d)

解得金屬棒b上產生的電熱：

（3）a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，

根據法拉第電磁感應定律：

在Δt≠0的前提下，ΔΦ＝0即Φ保持不變

對a棒：由機械能守恒：

a棒進入磁場Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a＝μg

經過時間t，a棒進入磁場Ⅰ的距離為：

磁通量為：

又最初磁通量為：

聯立解得：