Question

圖41甲是某同學自制的電子秤原理圖，利用理想電壓表的示數來指示物體的質量．托盤與電阻可忽略的金屬彈簧相連，托盤與彈簧的質量均不計．滑動變阻器的滑動端與彈簧上端連接，當托盤中沒有放物體時，滑動觸頭恰好指在變阻器R的最上端，此時電壓表示數為零．設變阻器總電阻為R，總長度為L，電源電動勢為E，內阻為r，限流電阻阻值為R₀，彈簧勁度系數為k，若不計一切摩擦和其它阻力．
（1）求出電壓表示數U_x用所稱物體的質量m表示的關系式；
（2）由⑴的計算結果可知，電壓表示數與待測物體質量不成正比，不便于進行刻度，為使電壓表示數與待測物體質量成正比，請利用原有器材進行改進，在圖41（乙）的基礎上完成改進后的電路原理圖，并求出電壓表示數U_x用所稱物體的質量m表示的關系式．

Answer 1

（1）
（2）

（1）根據歐姆定律得：  
又因   而 ，    
運算得到：             
(2) 在圖41（乙）的基礎上完成改進后的電路原理圖如圖42所示。同理可求得：