Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為l．水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態．小物塊A（可視為質點）從軌道右側以初速度v0沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經水平軌道返回圓形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v0=2m/s，物塊A質量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計，取g=10m/s2．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小．

（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．

（3）調節PQ段的長度l，A仍以v0從軌道右側沖上軌道，當l滿足什么條件時，A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道．

Answer 1

【答案】（1）2m/s．（2）0.2m．（3）1.0m≤l＜1.5m或l≤0.25m．

【解析】

（1）物塊A沖上圓形軌道后回到最低點速度為v0=m/s，
與彈簧接觸瞬間，，
可得，物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小m/s；
（2）A被彈簧以原速率v1彈回，向右經過PQ段，
有；

解得A速度v2=2m/s，
A滑上圓形軌道，有，
（也可以應用）
可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，符合實際．
（3）物塊A以v0沖上軌道直到回到PQ段右側，
有，
可得，A回到右側速度：，
要使A能返回右側軌道且能沿軌道運動而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，
根據機械能守恒：

聯立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿軌道上滑至最高點，則滿足：且，
聯立得l≤0.25m，綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運動而不脫離軌道，
l滿足的條件是1.0m≤l＜1.5m或l≤0.25m；