Question

如下圖所示，輕質彈簧將質量為m的小物塊連接在質量為M（M=3m）的光滑框架內．小物塊位于框架中心位置時彈簧處于自由長度．現設框架與小物塊以共同速度v沿光滑水平面向左勻速滑動．
（1）若框架與墻壁發生碰撞后速度為零，但與墻壁不粘連，求框架脫離墻壁后的運動過程中，彈簧彈性勢能的最大值．
（2）若框架與墻壁發生碰撞以一定速度反彈，在以后過程中彈簧的最大彈性勢能為，求框架與墻壁碰撞時損失的機械能△E₁．
（3）在（2）情形下試判定框架與墻壁能否發生第二次碰撞？若不能，說明理由．若能，試求出第二次碰撞時損失的機械能△E₂．（設框架與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變）

Answer 1

【答案】分析：（1）框架與墻壁碰撞后，物塊以v壓縮彈簧，后又返回，由機械能守恒可知，碰后速度仍為v方向向右．
設彈簧有最大勢能時共同速度為v，根據動量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（2）設框架反彈速度為v₁、最大勢能時共同速度為v，則由動量、能量守恒定律即可求解v₁、和v，從而求解損失量；
（3）由（2）知第一次碰后反彈后，二者總動量為零，故當彈簧再次伸展后仍可繼續與墻壁相撞，并以v₁的速度與墻壁相撞，根據速度的比值關系求得碰后速度即可求解機械能損失量．
解答：解：（1）框架與墻壁碰撞后，物塊以V壓縮彈簧，后又返回，
當返回原位時框架開始離開，由機械能守恒知，此時物塊速度是v方向向右．
設彈簧有最大勢能時共同速度為v，由動量守恒定律知：mv=4mv，
由能量守恒定律mv²=×4mv²+E_Px，
解得：E_PX=mv²；                                           
（2）設框架反彈速度為v₁，最大勢能時共同速度為v，則
由動量、能量守恒定律得
3mv₁-mv=4mv，
×3mv₁²+mv²=×4mv′²+mv²，
解得：v₁=，v₁′=-v（舍去），
代入解得：v′=0，
△E₁=×3mv²-×3mv₁²=mv²，
（3）由（2）知第一次碰后反彈后，二者總動量為零，故當彈簧再次伸展后仍可繼續與墻壁相撞，并以V₁=速度與墻壁相撞，由題意知，
=，所以v₂=，
故△E₂=×3m-×3m=mv²，
答：（1）彈簧彈性勢能的最大值為mv²；
（3）框架與墻壁碰撞時損失的機械能為mv²；
（4）能，第二次碰撞時損失的機械能為mv²．
點評：本題主要考查了動量守恒定律和能量守恒定律的直接應用，要求同學們能正確分析物體的運動過程，難度適中．