Question

如下圖所示，輕質彈簧將質量為m的小物塊連接在質量為M（M=3m）的光滑框架內．小物塊位于框架中心位置時彈簧處于自由長度．現設框架與小物塊以共同速度v₀沿光滑水平面向左勻速滑動．
（1）若框架與墻壁發生碰撞后速度為零，但與墻壁不粘連，求框架脫離墻壁后的運動過程中，彈簧彈性勢能的最大值．
（2）若框架與墻壁發生碰撞以一定速度反彈，在以后過程中彈簧的最大彈性勢能為

2

3

mvo2，求框架與墻壁碰撞時損失的機械能△E₁．
（3）在（2）情形下試判定框架與墻壁能否發生第二次碰撞？若不能，說明理由．若能，試求出第二次碰撞時損失的機械能△E₂．（設框架與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變）

Answer 1

（1）框架與墻壁碰撞后，物塊以V₀壓縮彈簧，后又返回，
當返回原位時框架開始離開，由機械能守恒知，此時物塊速度是v₀方向向右．
設彈簧有最大勢能時共同速度為v，由動量守恒定律知：mv₀=4mv，
由能量守恒定律

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv²+E_Px，
解得：E_PX=

3

8

mv₀²；                                           
（2）設框架反彈速度為v₁，最大勢能時共同速度為v，則
由動量、能量守恒定律得
3mv₁-mv₀=4mv，

1

2

×3mv₁²+

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv′²+

2

3

mv₀²，
解得：v₁=

v0

3

，v₁′=-

7

3

v₀（舍去），
代入解得：v′=0，
△E₁=

1

2

×3mv₀²-

1

2

×3mv₁²=

4

3

mv₀²，
（3）由（2）知第一次碰后反彈后，二者總動量為零，故當彈簧再次伸展后仍可繼續與墻壁相撞，并以V₁=

v0

3

速度與墻壁相撞，由題意知，

v2

v1

=

v1

v0

，所以v₂=

v0

9

，
故△E₂=

1

2

×3m(

v0

3

)2-

1

2

×3m(

v0

3

)2=

4

27

mv₀²，
答：（1）彈簧彈性勢能的最大值為

3

8

mv₀²；
（3）框架與墻壁碰撞時損失的機械能為

4

3

mv₀²；
（4）能，第二次碰撞時損失的機械能為

4

27

mv₀²．