Question

（19分）四川某中學物理興趣小組同學開展研究性學習，對常在火車站看到載重列車啟動時，機車首先要倒退的問題進行調查，最后得出結論：因為機車和車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力大于它們之間的動摩擦力，若機車不倒退直接啟動，啟動以后機車和車廂與鐵軌之間的摩擦力由靜摩擦力變為動摩擦力，當列車加速到一定的速度后，列車的機車就必須減少牽引力使列車勻速直線運動，資源不能得到充分的利用，所以載重列車常常采用先倒退的啟動方式啟動。現假設有一列載重列車，若它不倒退以恒定的牽引力直接啟動，機車的牽引力能帶動49節車廂（不含機車），那么它利用倒退后用同樣大小的恒定牽引力啟動，該機車啟動59節同樣質量的車廂以后，恰好做勻速直線運動，已知機車與各節車廂的質量均為m，機車和各節車廂與鐵軌之間的動摩擦力為，假設機車倒退后，各節車廂之間的掛鉤離開相同的距離，機車加速后，每拉動一節車廂的瞬間可近似地認為滿足動量守恒定律的條件。求：
（1）每一節車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力？
（2）列車采用機車倒退的方式啟動后做勻速直線運動的速度？（最終結果可以用根式表示）

Answer 1

（1）；（2）。

（19分）
解：（1）設每節車廂所受最大靜摩擦力為f_m，機車的牽引為為F
直接啟動時，有　　　　              ①（1分）
當采用倒退方式啟動時，有　　　　　 ②（1分）
由①、②兩式可得：　　　　　         ③（1分）
（2）設第一節車廂被拉動前，機車的速度為，被拉動后，機車的速度為V₁′
由動能定理有　 　　　　　　   ④（2分）
由動量守恒定律有　　　　　　　       ⑤（2分）
由 ④、⑤得　 　　　　　　     ⑥（1分）
設第二節車廂被拉動前，機車的速度為V₂，被拉動后，機車的速度為V₂′，　　
由動能定理有　 　⑦（2分）
由動量守恒定律有　　　　　　　       ⑧（1分）
由 ⑦、⑧得　 　　　　　　     ⑨（1分）
同理可得　 　　　　　          ⑩（1分）
由數學歸納法有　 　　 11（2分）
　 　12（2分）
即列車采用倒退的方式啟動后做勻速直線運動的速度為
        （2分）