Question

（18分）如圖所示，以A、B和C、D為斷點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點，一物塊（視為質點）被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A點時剛好與傳送帶速度相同，然后經A點沿半圓軌道滑下，再經B點滑上滑板，滑板運動到C點時被牢固粘連。物塊可視為質點，質量為m,滑板質量為M=2m，兩半圓半徑均為R,板長l=6.5R,板右端到C點的距離L在R<L<5R范圍內取值，E點距A點的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均為，重力加速度g已知。

(1)求物塊滑到B點的速度大小;
(2)求物塊滑到B點時所受半圓軌道的支持力的大小;
(3)試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功與L的關系;并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點。

Answer 1

（1）（2）10mg
（3）?當R<L<2R時，；
?當2R≤L<5R時,；
不能滑到CD軌道中點。

（1）設物塊滑到B點的速度大小為u_B,對物體從E到B過程，
根據動能定理得
解得：
（2）物塊在B點時，根據牛頓第二定律午
解得：
（3）物塊從B滑上滑板后開始作勻減速運動，此時滑板開始作勻加速直線運動，當物塊與滑板達共同速度時，二者開始作勻速運動。
由動量定理
它們的共同速度為
此過程，對物塊據動能定理得
解得s₁=8R
此過程，對滑板據動能定理得
解得s₂=2R
由此可知物塊在滑板上滑過s₁－s₂=6R時，二者就具有共同速度了。因為6R<6.5R,所以物塊并沒有從滑板上滑下去
討論：
?當R<L<2R時，物塊在滑板上一直勻減速運動至C，運動的位移為6.5R+L，克服摩擦力做的功
設滑上C點的速度為，對物塊根據動能定理得

解得，所以物塊不可能滑到CD軌道的中點
?當2R≤L<5R時，物塊的運動的勻減速運動8R，勻速運動L-2R，再勻減速運動0.5R，克服摩擦力做的功
解得，所以物塊不能滑到CD軌道的中點
（也可以由可看出只要物塊與滑板達到共同速度，就不能滑到CD軌道的中點）
（事實上由，看出只要摩擦力做功的位移超過7R，物塊就不能沖到CD軌道的中點。由S₁=8R>7R知道達到共同速度必然沖不到CD軌道中點;而由已知6.5R+L>7.5R>7R即若不能達到共同速度，同樣沖不到CD軌道中點。）