Question

如圖所示，兩根固定的光滑金屬導軌水平部分與傾斜部分平滑連接，兩導軌間距為L＝0.5m，導軌的傾斜部分與水平面成53⁰角。導軌的傾斜部分有一個勻強磁場區域abcd，磁場方向垂直于斜面向上，導軌的水平部分有n個相同的勻強磁場區域，磁場方向豎直向上，所有磁場的磁感強度大小均為B＝1T，磁場沿導軌的長度均為L＝0.5m，磁場在左、右兩側邊界均與導軌垂直，導軌的水平部分中相鄰磁場區域的間距也為L。現有一質量為m＝0.5kg，電阻為r＝0.2Ω，邊長也為L的正方形金屬線框PQMN，從傾斜導軌上由靜止釋放，釋放時MN邊離水平導軌的高度h＝2.4m，金屬線框在MN邊剛滑進磁場abcd時恰好做勻速直線運動，此后，金屬線框從導軌的傾斜部分滑上水平部分并最終停止。取重力加速度g＝10m/s²,sin53⁰＝0.8, cos53⁰＝0.6。求：⑴金屬線框剛釋放時MN邊和ab邊的距離；⑵金屬線框能穿越導軌水平部分中幾個完整的磁場區域；⑶整個過程中金屬線框幾產生的焦耳熱。

Answer 1

⑴0.64m  ⑵金屬框能穿越導軌水平部分中2個完整的磁場區域。⑶ 13 J

⑴設金屬線框剛進入磁場區域abcd的速度為v₁，則線框中產生的感應電動勢
E＝BLv₁                      （1分）
安培力 F＝BIL＝         （1分）
依題意有：F＝mgsinθ            （1分）
線框下滑距離s的過程中，根據機械能守恒有：
mgssinθ＝                 （2分）
聯立以上各式解得：s＝＝0.64m     （2分）
⑵設金屬線框剛全部進入水平導軌時速度為v₂，線框在傾斜導軌上運動的全過程中，由動能定理有：    mg(h＋—2Lsinθ) ＝         （2分）
解得：v₂＝6m/s                        （1分）
線框進入水平導軌的磁場中后由于受到安培力作用而減速直至速度減為零，線框在穿越任一磁場區域的過程中，根據動量定理有：
B  即：BLq＝m           （1分）
又 q＝                       （1分）
所以，線框在穿越每一磁場區域速度的減少量相同，且    （1分）
線框在水平導軌上穿越磁場區域的個數為：n＝＝2.4   （1分）
故金屬框能穿越導軌水平部分中2個完整的磁場區域。           （1分）
⑶整個過程中，根據能量守恒定律，有：
金屬線框中產生的焦耳熱  Q＝mg(h＋)＝13 J