Question

如圖，兩根足夠長的光滑固定平行金屬導軌與水平面成θ角，導軌間距為d，兩導體棒a和b與導軌垂直放置，兩根導體棒的質量都為m、電阻都為R，回路中其余電阻不計。整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度的大小為B,在t=0時刻使a沿導軌向上作速度為v的勻速運動，同時將b由靜止釋放，b經過一段時間后也作勻速運動。已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30⁰，g取10m／s²，不計兩導棒間的相互作用力。         
（1）若使導體棒b靜止在導軌上，導體棒a向上運動的速度v多大?
（2）若a在平行于導軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導軌向上勻速運動，試導出F與b的速率v₂的函數關系式并求出v₂的最大值；
（3）在(2)中，當t=2s時，b的速度達到5.06m/s，2s內回路中產生的焦耳熱為13.2J，求該2s內力F做的功(結果保留三位有效數字)。

Answer 1

⑴v₁="10m/s " ④（1分）
⑵v_m=" 8m/s" （1分）
⑶W_F="14.9J  " （1分）

解：⑴設a的速度為v₁，則  ① （1分）
對b： ②（1分）    
F_A=mgsinθ ③（1分）
將①②式代入③式得：v₁="10m/s " ④（1分）
⑵設a的速度為v₁，b的速度為v₂，回路電流為I，
則： ⑤（1分）
對a：mgsinθ + F_A = F    ⑥（2分）
代入數據得:   （1分）
設b的最大速度為v_m，則有：（2分）
代入數據得:    v_m=" 8m/s" （1分）
⑶對b：mgsinθ－F_A= ma   （1分）
用微元法計算b棒的位移, 取任意無限小△t時間,b棒位移為
對上式兩邊同乘以得   （1分）
代入數據并求和得：   8t－x₂ = 2v₂ （1分）
將t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂="5.88m  " （1分）
a的位移：x₁=v₁t =" 2×2" = 4m
由功能關系知：
  （1分）
代入數據得：W_F="14.9J  " （1分）