Question

(16分)如圖所示，水平傳送帶上A、B兩端點間距L＝4m，半徑R＝1m的光滑半圓形軌道固定于豎直平面內，下端與傳送帶B相切。傳送帶以v₀＝4m/s的速度沿圖示方向勻速運動，質量m＝1kg的小滑塊由靜止放到傳送帶的A端，經一段時間運動到B端，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.5，取g＝10m/s²。

⑴求滑塊到達B端的速度；
⑵求滑塊由A運動到B的過程中，滑塊與傳送帶間摩擦產生的熱量；
⑶僅改變傳送帶的速度，其他條件不變，計算說明滑塊能否通過圓軌道最高點C。

Answer 1

⑴v＝4m/s；⑵Q＝8J；⑶不能

試題分析：⑴滑塊開始時在傳送帶上先向右做加速運動，若傳送帶足夠長，設當滑塊速度v＝v₀時已運動距離為x，根據動能定理有：μmgx＝－0
解得：x＝1.6m＜L， 所以滑塊將以速度v＝v₀＝4m/s做勻速運動至B端
⑵設滑塊與傳送帶發生相對運動的時間為t，則：v₀＝μgt
皮帶通過的位移為：x′＝v₀t
滑塊與傳送帶之間相對滑動的距離為：Δx＝x′－x
滑塊與傳送帶之間產生的熱量為：Q＝μmgΔx
聯立以上各式解得：Q＝8J
⑶設滑塊通過最高點C的最小速度為v_C，經過C點時，根據向心力公式和牛頓第二定律有：mg＝
在滑塊從B運動到C的過程中，根據動能定理有：－2mgR＝－
解得要使滑塊能通過圓軌道最高點C時經過B的速度最小為：v_B＝m/s
若僅改變傳送帶的速度，其他條件不變，使得滑塊一直做勻加速直線運動至B的速度為最大速度，設為v_m，根據動能定理有：μmgL＝－0
解得：v_m＝m/s＜v_B＝m/s，所以僅改變傳送帶的速度，滑塊不能通過圓軌道最高點