Question

（2009?潮州三模）設雨點下落過程受到的空氣阻力與雨點的橫截面積S成正比，與雨點下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k為比例系數）．雨點接近地面時近似看做勻速直線運動，重力加速度為g．若把雨點看做球形，其半徑為r，球的體積為

4

3

πr³，設雨點的密度為ρ，求：（1）每個雨點最終的運動速度v_m（用ρ、r、g、k表示）；（2）雨點的速度達到

1

2

v_m時，雨點的加速度a為多大（用g表示）？

Answer 1

分析：（1）根據共點力平衡條件和題意中有關摩擦力的關系式列式求解；
（2）先根據題意求出速度達到

1

2

v_m時的空氣阻力，然后根據牛頓第二定律求解加速度．

解答：解：（1）當f=mg時，雨點達到最終速度v_m，則
kS

v

2 m

=mg
故
kS

v

2 m

=ρ

4

3

πr3g
解得
vm=

4ρrg 3k

           
即每個雨點最終的運動速度

4ρrg 3k

．                                  
（2）由牛頓第二定律得：mg-f=ma
則
mg-kS(

vm

2

)2=ma
解得
mg-

kS v 2 m

4

=ma
故a=

3

4

g
即雨點的速度達到

1

2

v_m時，雨點的加速度a為

3

4

g．

點評：本題關鍵是根據阻力表達式和共點力平衡條件或牛頓第二定律列式求解．