Question

如圖所示，x軸上方有一勻強電場，方向與y軸平行；x軸下方有一勻強磁場，方向垂直紙面向里．一質量為m、電量為-q（q＞0）的粒子以速度v₀從y軸上的P點平行x軸方向射入電場后，從x軸上的Q點進入磁場，并從坐標原點O離開磁場．已知OP=L，OQ=2L．不計重力和一切摩擦，求：
（1）粒子到達Q點時的速度大小和方向
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑
（3）粒子在磁場中的運動時間
（4）粒子離開P點后第一次到達Y軸時的位置坐標．

Answer 1

分析：（1）粒子先電場中作類平拋運動，后進入磁場中作勻速圓周運動．根據運動的分解，由牛頓第二定律和運動學規律結合求解粒子到達Q點時的速度大小和方向
（2）在磁場中，粒子作勻速圓周運動，結合題意，畫出軌跡，由幾何關系求解軌道半徑．
（3）由圖確定出軌跡對應的圓心角，得出時間與周期的關系，從而求解時間．
（4）由幾何關系得到P點后第一次到達Y軸時的位置坐標．

解答：解：（1）設粒子在電場中運動時間為t₁，到達Q時豎直分速度為v_y，速度大小為v，方向與x軸夾角為θ，由運動學公式得：
 水平方向有：2L=v₀t₁ 
 豎直方向有：L=

vy

2

t1  
 聯立解得：v_y=v₀，
則 v=

v 2 y + v 2 0

=

2

v₀     
   tanθ=

vy

v0

=1，得θ=45°   
（2）粒子在磁場中的軌跡如圖所示，由幾何關系可得粒子在磁場中的軌道半徑：R=

2

2

.

OQ

=

2

2

?2L=

2

L
（3）由圖知，粒子在磁場中的運動時軌跡對應的圓心角為270°，則在磁場中運動的時間：t₂=

270°

360°

T=

3

4

T
由圓周運動知識得：T=

2πR

v

=

2π? 2 L

2 v0

=

2πL

v0

        
故得 t₂=

3

4

T=

3

4

×

2πL

v0

=

3πL

2v0

                  
（4）由幾何關系得P點后第一次到達Y軸時的位置縱坐標為：y=-

2

R=-

2

?

2

L=-2L
故粒子離開P點后第一次到達Y軸時的位置坐標為（0，-2L）．
答：（1）粒子到達Q點時的速度大小為

2

v₀，方向與x軸夾角為45°．（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑為

2

l．（3）粒子在磁場中的運動時間為

3πl

2v0

． （4）粒子離開P點后第一次到達Y軸時的位置坐標為（0，-2L）．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的類型，電場中在正確運用運動的分解法進行研究，磁場中關鍵畫出運動軌跡，由幾何知識求解相關的量．