Question

有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度，已知該單擺在海平面處的周期是T₀，當(dāng)氣球停在某一高度時，測得該單擺的周期為T.求該氣球此時離海平面的高度h，把地球看作質(zhì)量分布均勻的半徑為R的球體.下面分別是甲、乙、丙三位同學(xué)對本題的解答，你認為是否正確？若不正確，請說明理由，并給出正確解法和結(jié)果.

甲：因為G=m()²R

G=m()²(R+h)

所以h=R［()-1］

乙：因為G=mg₀  G=mg且T₀=2π,T=2π

所以h=R［()-1］.

丙：因為mω²R=mg₀,mω²(R+h)=mg且T₀=2π,T=2π

所以h=R［()²-1］.

Answer 1

甲、乙、丙三種解法均不正確，求得h=(-1)R

解析：甲同學(xué)把單擺振動周期與地球自轉(zhuǎn)周期、氣球繞地心做圓周運動的周期混淆導(dǎo)致錯解.

乙同學(xué)將單擺的擺長與地球半徑、氣球繞地心做圓周運動的軌道半徑混淆導(dǎo)致錯解.

丙同學(xué)誤認為地球的自轉(zhuǎn)角速度與氣球繞地心做圓周運動的角速度相同而導(dǎo)致錯解.

正確解法如下：根據(jù)單擺周期公式有

T₀=2π  T=2π

其中L是單擺的擺長，g₀和g分別是兩地點的重力加速度.由萬有引力等于物體的重力，即mg′=G,則g₀=  g=G  (G為引力常量，M為地球質(zhì)量)

聯(lián)立上述公式解得：h=(-1)R.