Question

如圖所示，為某游戲裝置的示意圖．高處的光滑水平平臺上有一質量為m的滑塊（可視為質點）靜止在A點，平臺的左端有一豎直固定的光滑半圓形細管BC，其半徑為2R，與水平面相切于C點，CD為一段長度為5R的粗糙水平軌道，在D處有一豎直固定的半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道DE，E點切線豎直，在E點正上方有一離E點高度也為R的旋轉平臺，在旋轉平臺的一條直徑上開有兩個離軸心距離相等的小孔M、N，平臺以恒定的角速度旋轉時兩孔均能經過E點的正上方．某游戲者在A點將滑塊瞬間彈出，滑塊第一次到達C點時速度為v₀=3

gR

，經過軌道CDE，滑塊第一次滑過E點后進入M孔，又恰能從N孔落下，已知滑塊與CD部分的動摩擦因數為μ=0.1，重力加速度為g．求：
（1）游戲者對滑塊所做的功；
（2）滑塊第一次返回到C點時對細管的壓力；
（3）平臺轉動的角速度ω．

Answer 1

（1）從A點到C點，由動能定理得到：
W+mg?4R=

1

2

m

v

20

解得：W=0.5mgR
（2）從第一次經過C點到第一次返回C點的整個過程，根據動能定理，有：
-2μmg?5R=

1

2

m

v

2C

-

1

2

m

v

20

在C點，由牛頓第二定律，得到：
F_N-mg=m

v 2C

2R

聯立解得：F_N=4.5mg，方向豎直向下
（3）從第一次經過C點到M點，由動能定理，得：
-2μmg?5R-mg?2R=

1

2

m

v

2M

-

1

2

m

v

2C

從點M落回到點N的時間為：t=

2vM

g

對轉盤，有：t=

(2n+1)π

ω

（n=0、1、2、…）
聯立求解得：ω=

(2n+1)π gR

4R

（n=0、1、2、…）
答：（1）游戲者對滑塊所做的功為0.5mgR；
（2）滑塊第一次返回到C點時對細管的壓力為4.5mg，方向豎直向下；
（3）平臺轉動的角速度ω為

(2n+1)π gR

4R

（n=0、1、2、…）．