Question

一內壁光滑的環形細圓管，固定于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的內徑大得多．在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）．A球的質量為m₁，B球的質量為m₂．它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為V₀．則A球在最低點受到的向心力的大小為

m1

v02

R

，設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁、m₂、R與V₀應滿足的關系式是

（m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0

．

Answer 1

分析：根據向心力的公式求出A球在最低點受到的向心力大小．A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，即A、B兩球對軌道的壓力大小相等，方向相反．結合機械能守恒定律和牛頓第二定律求出m₁、m₂、R與V₀應滿足的關系式．

解答：解：A球在最低點受到的向心力的大小為m1

v02

R

A球運動到最低點時速度為V₀，A球受到向下重力mg和細管向上彈力N₁的作用，其合力提供向心力．根據牛頓第二定律，得N₁-m₁g=m1

v02

R

①
這時B球位于最高點，設速度為V₁，B球受向下重力m₂g和細管彈力N₂作用．球作用于細管的力是N₁、N₂的反作用力，要求兩球作用于細管的合力為零，即要求N₂與N₁等值反向，N₁=N₂ ②，且N₂方向一定向下，
   對B球：N₂+m₂g=m2

v12

R

   ③
B球由最高點運動到最低點時速度為V₀，此過程中機械能守恒定律，得：

1

2

m2v12+m2g?2R=

1

2

m2v02  ④
 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R與V₀滿足的關系式是：
　 （m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0 ⑤
故答案為：m1

v02

R

，（m₁-m₂）

v02

R

+（m₁+5m₂）g=0

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，綜合性較強，對學生的能力要求較高，是道好題．