Question

【題目】如圖所示，在O點固定一個正點電荷，同時在以O為圓心、為半徑的虛線圓內有垂直紙面向里的勻強磁場(未畫出)，MSN是由細管制成的半徑為a的光滑絕緣圓軌道，其圓心位于O點。在M點以速度v0垂直MN向下射出一個質量為m(不計重力)、電荷量為q的帶負電的粒子，粒子恰好做勻速圓周運動，從N點進入圓軌道(細管的內徑略比粒子大)。粒子從N點進入時，虛線圓內磁場的磁感應強度按B=B0－βt(β>0)的規律開始變化，粒子從M點出來時磁感應強度的大小恰好變為零之后不再變化，此時撤去圓軌道，粒子軌跡變為橢圓且垂直穿過MN線上的P點，OP=7a，(以無窮遠處電勢為0，點電荷電場中某點的電勢，k為靜電力常量，Q為點電荷帶電量、帶符號代入，r為電場中某點到點電荷的距離)求：

(1)固定在O點的正電荷的電荷量；

(2)B0、β的數值；

(3)粒子從出發到達到P點的時間。

Answer 1

【答案】(1) (2), (3)

【解析】試題分析：由庫侖力提供向心力，可求電荷量；磁場變化過程，產生感生電場，由法拉第電磁感應定律，可求電場強度；再由運動學規律，結合能量守恒定律，和開普勒第二定律，可求解B0、β的數值；結合開普勒第三定律，在各個階段求時間，結合周期性，求粒子從出發到達到P點的時間。

(1)庫侖力提供向心力得

(2)假設在半徑為a的地方有金屬環，其感應電動勢為：

此處的電場強度大小為(感應電場)

所以有：①(v1為達M點的速度)

然后以初速v1做橢圓運動到P點，依開普勒第二定律可求得：②

依能量守恒有：③

由②③得，

代入①得，

(3)此后運動周期為T

開始圓運動的周期

由可得

，