Question

如圖所示，空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的圓，兩側的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小都為B．現有一質量為m、電荷量為q的帶正電離子（不計重力）從A點沿OA方向射出．
求：
（1）離子在磁場中做勻速圓圈運動的周期；
（2）若向外的磁場范圍足夠大，離子自A點射出后在兩個磁場不斷地飛進飛出，最后又能返回A點，求其返回A點的最短時間及對應離子的速度．
（3）若向外的磁場是有界的，分布在以O點為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區域，上述離子仍從A點沿OA方向射出，且微粒仍能返回A點，求其返回A點的最短時間．（可能用到的三角函數值：sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：（1）離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律和圓周運動知識求解離子在磁場中做勻速圓圈運動的周期；
（2）作出軌跡如圖，離子從A點射出后，分別經過一次進出向里的磁場返回A所用時間最短，得到時間與周期的關系式．由幾何知識求出軌跡的半徑，由半徑公式求解速度．
（3）離子的運動軌跡恰好不超出向外的磁場邊界時，離子的軌跡恰好與外邊界相切．畫出軌跡可知，離子分別進出里磁場兩次時時間最短，由幾何知識求出離子軌跡半徑和運動時間．

解答：解：（1）離子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律可得
  qvB=m

v2

r

又周期為 T=

2πm

qB

   
解得，T=

2πm

qB

（2）作出軌跡如圖，離子從A點射出后，分別經過一次進出向里的磁場返回A所用時間最短，最短時間  tm=

11

6

T
將T=

2πm

qB

代入得：tm=

11πm

3qB

由圖可知：r=

3

R
由向心力公式得：qv1B=

m v 2 1

r

由以上兩式可得：v1=

3 qBR

m

（3）如圖由幾何知識可知離子運動軌跡不超出邊界須有：

r2+R2

+r≤2R    
得  r≤

3

4

R
如圖有：

r

R

=tan

π

n

，即：tan

π

n

≤

3

4

，解得：n≥4.86
由于n要取整數，所以n=5時，離子返回A的時間最短      
由離子軌跡得：

t

′ m

=2T+

7

10

T=

27

10

T
將T=

2πm

qB

代入上式得：

t

′ m′

=

27πm

10qB

答：
（1）離子在磁場中做勻速圓圈運動的周期是

2πm

qB

；
（2）返回A點的最短時間是

11πm

3qB

，對應離子的速度是

3 qBR

m

．
（3）返回A點的最短時間為

27πm

10qB

．

點評：本題畫軌跡，根據圓周運動的周期性分析什么條件時間最短是難點，要充分運用幾何知識進行分析．