Question

一輛汽車的質量是5×10³kg，發動機的額定功率為45kW，汽車所受阻力恒為5000N，如果汽車從靜止開始以0.5m/s²的加速度做勻加速直線運動，功率達到最大后又以額定功率運動了一段距離后汽車達到了最大速度，在整個過程中，汽車運動了67.5m．問：
（1）在這個過程中，汽車發動機的牽引力做功多少？
（2）在這個過程中汽車運動的總時間？

Answer 1

分析：（1）當汽車最終做勻速運動時速度達到最大，此時汽車的牽引力與阻力大小相等，由汽車的額定功率和阻力，求出汽車的最大速度，再對全程應用動能定理列式，即可解得牽引力做的功．
（2）汽車在勻加速運動時由牛頓第二定律求出汽車的牽引力，當達到最大功率時根據平衡條件求出此時的速度，然后由運動學公式求出加速時的時間；對此后的恒定功率加速過程再次運用動能定理列式求解變加速時間；最后得到總時間．

解答：解：（1）汽車行駛的最大速度為：
v=

P

f

=

4.5×104

5000

m/s=9m/s
根據動能定理得：
W-fs=

1

2

mv2-0
解得：W=

1

2

mv2+fs=

1

2

×5×103×92+5000×67.5=5.4×10⁵J
（2）由牛頓第二定律可知在勻加速階段有：
F-f=ma
故有：F=f+ma=5000+5×10³×0.5=7500N
由P=FV可知達到額定功率時速度為：
v₁=

P

F

=

4.5×104

7500

=6m/s
由V=at得：
t=

v1

a

=

6

0.5

=12s
勻加速過程的位移：x=

0+v1

2

t=

6

2

×12=36m
故變加速過程的位移為：x′=s-x=67.5-36=31.5m
對變加速過程運用動能定理，有：
Pt′-fx′=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 1

代入數據，有：4.5×10⁴×t′=

1

2

×5×10³×（81-36）
解得：t′=6s
故加速的總時間為：t_總=t+t′=12+6=18s
答：（1）在這個過程中，汽車發動機的牽引力做功5.4×10⁵J；
（2）在這個過程中汽車運動的總時間為18s．

點評：本題考查的是機車啟動的兩種方式，即恒定加速度啟動和恒定功率啟動．要求同學們能對兩種啟動方式進行動態分析，知道當牽引力等于阻力時，機車達到最大速度．