Question

一勻強磁場方向垂直于xOy平面，磁場分布在以O為中心的一個圓形區域內，一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子，有原點O開始運動，初速度為v方向沿x軸正方向，后來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L如圖所示，不計重力的影響，若在磁場不變的條件下只改變粒子從原點O射出時的速度大小，不改變方向，可使粒子平行于y軸方向射出磁場，求此時粒子的速度大小及磁場的磁感應強度B的大小？

Answer 1

分析：帶電粒子，以一定的速度垂直進入勻強磁場中，由洛倫茲力提供向心力，使其做勻速圓周運動．根據入射點與出射點的速度方向可確定圓弧對應的圓心，由幾何關系來確定磁場的磁感應強度B的大小及xy平面上磁場區域的半徑R．

解答：解：粒子在磁場中受到洛倫茲力作用，做勻速圓周運動，則有：qvB=

mv2

r

所以：r=

mv

qB

   據此并由題意可得，粒子在磁場中的軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區之外．過P沿速度方向作延長線，它與x軸相交于Q點．作圓弧過O點與x軸相切，并且與PQ相切，切點A即粒子離開磁場區的地點．這樣也求得圓弧軌跡的圓心C，
如圖所示
由圖中幾何關系得：L=3r
由以上兩式可得：B=

3mv

qL

圖中OA的長度即圓形磁場區的半徑R，由圖中幾何關系可得：R=

3

3

L
若改變粒子從原點O射出時的速度大小，不改變方向，使粒子平行于y軸方向射出磁場，則出射點必定位于磁場的頂點，所以此時：
r′=

1

2

R，又由：r′=

mv′

qB

所以：v′=

qBr′

m

=

q? 3mv qL ? 1 2 ? 3 3 L

m

=

3

2

v
答：此時粒子的速度大小為

3

2

v，磁場的磁感應強度B的大小

3mv

qL

．

點評：帶電粒子在磁場中由洛倫茲力提供做勻速圓周運動，同時結合數學幾何關系來構建長度關系．注意運動圓弧的半徑與磁場半徑的區別．