Question

如圖甲所示，空間存在B=0.5T、方向豎直向下的勻強磁場，MN、PQ是相互平行的粗糙的長直導軌，它們處于同一水平面內，其間距L=0.2m，R是連在導軌一端的電阻，ab是跨接在導軌上質量m=0.1kg的導體棒，從零時刻開始，通過一小型電動機對ab棒施加一個牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導軌做直線運動，此過程中棒始終保持與導軌垂直且接觸良好，圖乙是棒的速度一時間圖象，其中OA段是直線，AC段是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動機在12s末達到額定功率P=4.5W，此后功率保持不變．導體棒和導軌的電阻均不計，g取10m/s²．
（1）求導體棒在0～12s內的加速度大小；
（2）求導體棒與導軌間的動摩擦因數μ及電阻R的阻值；
（3）若t=17s時，導體棒ab達最大速度，且0～17s內共發生位移100m，試求12～17s內R上產生的熱量Q以及通過R的電荷量q．

Answer 1

分析：（1）由乙圖知：導體棒在0-12s內做勻加速運動，由圖象的斜率求解加速度．
（2）乙圖中A點：由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL推導出安培力的表達式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達式；圖中C點：導體棒做勻速運動，由平衡條件再得到含μ和R的表達式，聯立求出μ和R．
（3）由圖象的“面積”求出0-12s內導體棒發生的位移，0-17s內共發生位移100m，求出AC段過程發生的位移，由能量守恒定律求解12-17s內R上產生的熱量．

解答：解：（1）由圖中可得：12s末的速度為v₁=9m/s，t₁=12s
導體棒在0.12s內的加速度大小為a=

v1-0

t1

=

9-0

12

=0.75m/s²．
（2）設金屬棒與導軌間的動摩擦因數為μ．
當金屬棒的速度為v時，安培力大小為F，則有
  F=BIL，I=

BLv

R

得 F=

B2L2v

R

A點：由牛頓第二定律得
F₁-μmg-

B2L2v1

R

=ma₁
  又P_額=F₁v₁．
C點：棒達到最大速度，F₂-μmg-

B2L2vm

R

=0
  P_額=F₂v_m．
聯立解得，μ=0.2，R=0.4Ω
（2）0-12s內導體棒發生的位移為s₁=

1

2

×9×12m=54m，
AC段過程棒發生的位移為s₂=100-s₁=46m
由能量守恒得
 P_額t=Q_R+μmgs₂+（

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 1

）
代入解得Q_R=12.35J
答：
（1）求導體棒在0-12s內的加速度大小是0.75m/s²；
（2）導體棒與導軌間的動摩擦因數是0.2，電阻R的阻值是0.4Ω；
（3）12-17s內，R上產生的熱量是12.35J．

點評：本題與汽車勻加速起動類似，關鍵會推導安培力的表達式F=

B2L2v

R

，根據平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結合進行求解．