Question

如圖所示，兩根等高光滑的

1

4

圓弧軌道，半徑為r、間距為L(zhǎng)，軌道電阻不計(jì)．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)軌道底端cd時(shí)受到軌道的支持力為2mg．整個(gè)過(guò)程中金屬棒與導(dǎo)軌電接觸良好，求：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小和通過(guò)電阻R的電流．
（2）棒從ab下滑到cd過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱和通過(guò)R的電荷量．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開(kāi)始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為多少？

Answer 1

（1）到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)棒的速度為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，感應(yīng)電流為I，則
2mg-mg=m

v2

r

金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv
感應(yīng)電流 I=

E

R

解得v=

gr

，I=

BL gr

R

（2）設(shè)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由能量守恒定律有Q=mgr-

1

2

mv2
解得Q=

1

2

mgr
設(shè)產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

.

E

，平均感應(yīng)電流為

.

I

，通過(guò)R的電荷量為q，則

.

E

=

△?

△t

.

I

=

. E

R

q=

.

I

?△t
解得q=

BrL

R

（3）金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中水平方向的分速度vx=v0cos(

v0

r

t)
金屬棒切割磁感線產(chǎn)生正弦交變電流的有效值I=

BLv0

2 R

在四分之一周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量Q=I2R?

πr

2v0

設(shè)拉力做的功為W_F，由功能關(guān)系有W_F-mgr=Q
解得WF=mgr+

πrB2L2v0

4R

答：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是

gr

，通過(guò)電阻R的電流是I=

BL gr

R

．
（2）棒從ab下滑到cd過(guò)程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱是

1

2

mgr，通過(guò)R的電荷量為

BrL

R

．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開(kāi)始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)ab的過(guò)程中拉力做的功為mgr+

πrB2L2v0

4R

．