Question

北京時間2010年 10月1日18時59分57秒，嫦娥二號衛星成功發射并進入地月軌道．假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B再次點火進入月球近月軌道Ⅲ繞月球作圓周運動．求：
（1）飛船在軌道Ⅰ上的運行速率；
（2）飛船在A點處點火后瞬間與點火前相比，速度是變大還是變小？
（3）飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間．

Answer 1

分析：（1）在月球表面，重力提供向心力，在任意軌道，萬有引力提供向心力，聯立方程即可求解；
（2）根據G

Mm

R2

=m

v2

R

可知，當R減小時，v也減小；
（3）飛船在近月軌道Ⅲ繞月球運行，重力提供向心力，根據向心力周期公式即可求解．

解答：解：（1）設月球的質量為M，飛船的質量為m，則
在月球表面，重力提供向心力，則G

Mm

R2

=mg0
對飛船有：G

Mm

(4R)2

=m

v2

4R

解得：
v=

1

2

g0R

（2）飛船在A點處點火后，軌道半徑減小，根據G

Mm

R2

=m

v2

R

可知，當R減小時，v也減小．
（3）設飛船在近月軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為T，則：
m(

2π

T

)2R=mg0
T=2π

R g0

答：（1）飛船在軌道Ⅰ上的運行速率為

1

2

g0R

；
（2）飛船在A點處點火后瞬間與點火前相比，速度變小；
（3）飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為2π

R g0

．

點評：該題考查了萬有引力公式及向心力基本公式的應用，難度不大，屬于中檔題．