Question

如圖甲所示，斜面與水平面間的夾角θ可以隨意改變，可視為質點的小物塊從斜面的底端以大小恒定的初速率v₀沿斜面向上運動，所能上升的最大距離記為s．今改變θ而使s隨之改變，根據所測量的若干組數據可以描述出“s-θ”曲線如圖乙所示．若斜面足夠長，取g=10m/s²，試根據“s-θ”曲線和相關的物理規律，分析求解：
（1）從圖中讀出θ=

π

2

時物體運動的最大距離，并分析θ=

π

2

時物體的運動；
（2）小物塊的初速率v₀；
（3）小物塊與斜面間的動摩擦因數?；
（4）對應“s-θ”曲線上s取最小值的P點的坐標值（θ₀，s_min）

Answer 1

分析：（1）由圖象可求出θ=

π

2

時，物體的運動最大距離，然后分析物體的運動情況；
（2）根據θ=

π

2

時物體的最大位移，應用勻變速運動的速度位移公式求出物體的初速度；
（3）由圖象可知，當θ₂=0時，x₂=10m，當木板水平時，由動能定理得列出等式求解小木塊與木板間的動摩擦系數．
（4）當木板與水平方向夾角為θ時，木塊沿木板上滑的距離為x，由動能定理列出等式求解．

解答：解：（1）由圖象可知，當θ₁=

π

2

時，x₁=5m，此時物體做豎直上拋運動；
（2）當θ₁=

π

2

時，x₁=5m，物體做豎直上拋運動，
由速度位移公式公式可得：v₀²-0=2gx₁，v₀=

2gx1

=

2×10×5

=10m/s；
（3）由圖象可知，當θ₂=0時，x₂=5

3

m，此時木板水平，
由動能定理得：-μmgx₂=0-

1

2

mv₀²，解得：μ=

3

3

；
（4）當板與水平方向夾角為θ時，沿斜面上滑的距離為s，由動能定理得：-mgssinθ-μmgscosθ=0-

1

2

mv₀²，
即s=

v 2 0

2g(sinθ+μcosθ)

，
令a=sinθ+μcosθ=

1+μ2

（

1

1+μ2

sinθ-

μ

1+μ2

cosθ），
設cosα=

1

1+μ2

，則a=

1+μ2

sin（α+θ），α+θ=

π

2

時，
a存在最大值，a_m=

1+( 3 3 )2

=

2 3

3

，sinθ₀=cosα=

1

1+μ2

=

1

1+( 3 3 )2

=

3

2

，
θ₀=arsin

3

2

，對應s的最小值為s_min=

v 2 0

2gam

=

102

2×10× 2 3 3

=

5 3

2

m；
P點的坐標值（arsin

3

2

，

5 3

2

）．
答：（1）從圖中讀出θ=

π

2

時物體運動的最大距離為5m，θ=

π

2

時物體做豎直上拋運動；
（2）小物塊的初速率為10m/s；
（3）小物塊與斜面間的動摩擦因數為

3

3

；
（4）對應“s-θ”曲線上s取最小值的P點的坐標值（arsin

3

2

，

5 3

2

）．

點評：本題關鍵能夠運用x-θ曲線的特殊值，選擇物理規律解決問題．
了解研究對象的運動過程是解決問題的前提，選取研究過程，運用動能定理解題．