Question

如圖所示，一光滑的半圓形軌道處于豎直平面內，并和一粗糙的斜面相接，其半徑大小為R=0.4m，直徑BC在豎直方向上，一小物體放在斜面上的A點，離水平面高度為h=3m，小物體與斜面之間的動摩擦因數為μ=0.5，斜面傾角θ=37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²，現在把小物體從靜止開始自由釋放，求
（1）小物體運動到斜面底端B點時速度的大�。�
（2）證明小物體可以沿半圓形軌道運動到最高點C；
（3）小物體離開半圓軌道后第一次落到斜面上時，其速度v的大小．

Answer 1

分析：（1）對從A到B過程運用動能定理列式求解即可；
（2）先根據牛頓第二定律求解小球在C點的最小速度，然后對從B到C過程運用機械能守恒定律求解C點的實際速度進行比較；
（3）小物體離開C點后做平拋運動，先根據機械能守恒定律列式；再根據平拋運動的分位移公式列式；后結合幾何關系得到兩個分位移與2R的關系；最后聯立求解．

解答：解：（1）根據動能定理：mgh-fsAB=

1

2

m

v

2 B

        ①
又：f=μmgcosθ                               ②
S_AB=

h

sin37°

                                  ③
解得：
vB=

20

=4.5(m/s)                           ④
（2）小物體在C點，有：
N+mg=

m v 2 C

R

                               ⑤
當N=0時，V_c有最小值，可得：
vC≥

gR

=2(m/s)                           ⑥
從B到C，由機械能守恒，可得：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg2R                        ⑦
解得：V_c=2（m/s）                          ⑧
（3）設落到斜面時水平位移為S，下落高度為h，由動能定理：

1

2

m

v

2 C

=

1

2

mv2+mgh                         ⑨
又根據平拋運動分位移公式，有：
S=v_Ct
h=

1

2

gt2
∴S=vC

2h g

                              ⑩
結合幾何關系，有：h+stanθ=2R            （11）
聯立可得：v=3.2m/s
答：（1）小物體運動到斜面底端B點時速度的大小為4.5m/s；
（2）證明如上；
（3）小物體離開半圓軌道后第一次落到斜面上時，其速度v的大小為3.2m/s．

點評：本題關鍵明確小物體的運動規律，先圓周運動再平拋運動，要結合機械能守恒定律、牛頓第二定律、向心力公式和平拋運動的分位移公式列式求解．