Question

【題目】簡諧運動是我們研究過的一種典型運動方式．

（1）一個質點做機械振動，如果它的回復力與偏離平衡位置的位移大小成正比，而且方向與位移方向相反，就能判定它是簡諧運動．如圖1所示，將兩個勁度系數分別為k1和k2的輕質彈簧套在光滑的水平桿上，彈簧的兩端固定，中間接一質量為m的小球，此時兩彈簧均處于原長．現將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置往復運動．請你據此證明，小球所做的運動是簡諧運動．
（2）以上我們是以回復力與偏離平衡位置的位移關系來判斷一個運動是否為簡諧運動．但其實簡諧運動也具有一些其他特征，如簡諧運動質點的運動速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關系就都可以表示為v2=v02﹣ax2 ， 其中v0為振動質點通過平衡位置時的瞬時速度，a為由系統本身和初始條件所決定的不變的常數．請你證明，圖2中小球的運動也滿足上述關系，并說明其關系式中的a與哪些物理量有關．已知彈簧的彈性勢能可以表達為 ，其中k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的形變量．
（3）一質點沿順時針方向以速度v0做半徑為R的勻速圓周運動，如圖所示．請結合第（2）問中的信息，分析論證小球在x方向上的分運動是否符合簡諧運動這一特征．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若小球向右偏離的位移為x，選取向右為正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=﹣（k1+k2）x

由于k1和k2都是常數，所以小球受到的合外力與位移成正比，小球做簡諧振動

（2）證明：小球運動的過程中的機械能包括小球的動能與彈簧的彈性勢能，小球運動的過程中系統的機械能守恒，設小球偏離O點的最大位移為A，則通過平衡位置時：

若小球向右偏離的位移為x時的速度為v，則：

即： =

可知其中a等于兩個彈簧的勁度系數的和，初速度的大小與開始時的振幅有關

（3）證明：當質點水平方向的位移為x時，質點速度與x軸之間的夾角設為θ，將質點的速度沿x軸方向與y軸方向分解如圖，則：

vy=v0cosθ

而：

根據合速度與分速度的關系可知：

整理可得： =

可知小球在x方向上的分運動符合簡諧運動這一特征．

證畢

【解析】（1）根據胡克定律即可寫出出小球偏離平衡位置的位移大小為x時合外力F合的表達式；（2）根據小球做簡諧運動時的機械能守恒即可寫出；（3）將質點的運動沿坐標軸的x方向與y方向分解，結合速度的分解關系即可證明．