Question

【題目】(2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，25)下暴雨時(shí)，有時(shí)會(huì)發(fā)生山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災(zāi)害．某地有一傾角為θ＝37°(sin 37°＝)的山坡C，上面有一質(zhì)量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示．假設(shè)某次暴雨中，A浸透雨水后總質(zhì)量也為m(可視為質(zhì)量不變的滑塊)，在極短時(shí)間內(nèi)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1減小為，B、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2減小為0.5，A、B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)；在第2 s末，B的上表面突然變?yōu)楣饣�，�?/span>2保持不變．已知A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A離B下邊緣的距離l＝27 m，C足夠長(zhǎng)，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：

(1)在0～2 s時(shí)間內(nèi)A和B加速度的大小；

(2)A在B上總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】(1)3 m/s2 1 m/s2 (2)4 s

【解析】(1)在0～2 s時(shí)間內(nèi)，A和B的受力如圖所示，其中Ff1、FN1是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，F(xiàn)f2、FN2是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．由滑動(dòng)摩擦力公式和力的平衡條件得

Ff1＝μ1FN1 ①

FN1＝mgcos θ ②

Ff2＝μ2FN2 ③

FN2＝FN1＋mgcos θ ④

規(guī)定沿斜面向下為正.設(shè)A和B的加速度分別為a1和a2，由牛頓第二定律得

mgsin θ－Ff1＝ma1 ⑤

mgsin θ－Ff2＋Ff1＝ma2 ⑥

聯(lián)立①②③④⑤⑥式，并代入題給條件得

a1＝3 m/s2 ⑦

a2＝1 m/s2 ⑧

(2)在t1＝2 s時(shí)，設(shè)A和B的速度分別為v1和v2，則

v1＝a1t1＝6 m/s ⑨

v2＝a2t1＝2 m/s ⑩

2 s后，設(shè)A和B的加速度分別為a1′和a2′.此時(shí)A與B之間摩擦力為零，同理可得

a1′＝6 m/s2

a2′＝－2 m/s2

由于a2′＜0，可知B做減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t2，B的速度減為零，則有

v2＋a2′t2＝0

聯(lián)立⑩式得t2＝1 s

在t1＋t2時(shí)間內(nèi)，A相對(duì)于B運(yùn)動(dòng)的距離為

x＝－＝12 m＜27 m

此后B靜止不動(dòng)，A繼續(xù)在B上滑動(dòng)．設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間t3后A離開(kāi)B，則有

l－x＝(v1＋a1′t2)t3＋a1′t

可得t3＝1 s(另一解不合題意，舍去)

設(shè)A在B上總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t總，有

t總＝t1＋t2＋t3＝4 s