Question

如圖所示，一質量M=1.0kg的砂擺，用輕繩懸于天花板上O點。另有一玩具槍能連續發射質量m=0.01kg、速度v=4.0m/s的小鋼珠。現將砂擺拉離平衡位置，由高h=0.20m處無初速度釋放，恰在砂擺向右擺到最低點時，玩具槍發射的第一顆小鋼珠水平向左射入砂擺，二者在極短時間內達到共同速度。不計空氣阻力，取g =10m/s²。

（1）求第一顆小鋼珠射入砂擺前的瞬間，砂擺的速度大小v₀；
（2）求第一顆小鋼珠射入砂擺后的瞬間，砂擺的速度大小v₁；
（3）第一顆小鋼珠射入后，每當砂擺向左運動到最低點時，都有一顆同樣的小鋼珠水平向左射入砂擺，并留在砂擺中。當第n顆小鋼珠射入后，砂擺能達到初始釋放的高度h，求n。

Answer 1

（1）2.0m/s（2）1.94m/s （3）4

試題分析：（1）砂擺從釋放到最低點，由動能定理：
                  
解得：          
（2）小鋼球打入砂擺過程，由動量守恒定律，以右為正方向
           
解得：    
（3）第2顆小鋼球打入過程，由動量守恒定律，以左為正方向
  
第3顆小鋼球打入過程，同理

第n顆小鋼球打入過程，同理

聯立各式得：   
解得：                
當第n顆小鋼球射入后，砂擺要能達到初始釋放的位置，
砂擺速度滿足：                                             
解得：               
所以，當第4顆小鋼球射入砂擺后，砂擺能達到初始釋放的高度。
點評：動量守恒和機械能守恒結合的題是常見問題，本題還是多過程問題，要用歸納法列表達式求解。