Question

如圖所示，質量M=4kg的木板AB靜止放在光滑水平上，木板右端B點固定著一根輕質彈簧，彈簧自由端在C點，C到木板左端的距離L=0.5m，質量m=1kg的小木塊（可視為質點）靜止在木板的左端，其與木板間的動摩擦因數μ=0.2．木板AB受到水平向左的恒力F=14N，作用時間t后撤去，恒力F撤去時小木塊恰好到達彈簧的自由端C處，此后的運動過程中彈簧的最大壓縮量x=5cm，取g=10m/s²．試求：
（1）水平恒力F作用的時間
（2）彈簧的最大彈性勢能
（3）通過計算確定小木塊最終停在C點的左邊還是右邊，并求出整個運動過程中所產生的熱量．

Answer 1

分析：本題考察到了應用牛頓運動定律、應用能量的轉化和守恒定律和動量守恒定律解題．

解答：解：
（1）木板向左作初速度為零的勻加速運動，而小木塊在摩擦力f=μmg的作用下也做初速度為零的勻加速運動，M，m的加速度分別為α₁，α₂
由牛頓第二定律得F-μmg=Mα₁…①
μmg=Mα₂…②
解①②得：α₁=3m/s²，α₂=2m/s²
撤去F時，木塊剛好運動到C處，則運動學公式
得L=

1

2

α1t2-

1

2

α2t2，解上面各式得t=

2L α1-α2

=1s
（2）撤去力F時，M、m的速度分別為v₁、v₂，由運動學公式得
v₁=α₁t=3m/s，v₂=α₂t=2m/s…③
撤去力F時，因M的速度大于m的速度，木塊將壓縮彈簧，m加速，M減速，當它們具有共同速度v時，彈簧彈性勢能最大，
設為E_p，將木塊和木板及彈簧視為系統，規定向左為正方向，系統動量守恒，
則有Mv₁+mv₂=（M+m）v…④
系統從撤去力F后到其有共同速度，由能量守恒定律得

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

(M+m)v2+Ep+μmgx…⑤
解③④⑤得E_p=0.3J
木板壓縮彈簧的最大彈性勢能為0.3J．
（3）假設木塊相對木板向左滑動離開彈簧后系統又能達到同共速度v′，相對向左滑動的距離為s
由動量守恒定律得：Mv₁+mv₂=（M+m）v'…⑥
由能量守恒定律得：

1

2

(M+m)v2+Ep=

1

2

(M+m)v2+μmgs…⑦
解⑥⑦得：s=0.15m  
由于x+L＞s且s＞x，故假設成立
所以整個運動過程中系統產生的熱量：Q=μmg（L+x+s）=0.2×10÷（0.5+0.05+0.15）J=1.4J
答：（1）水平恒力F作用的時間為1s
（2）彈簧的最大彈性勢能為0.3J
（3）小木塊最終停在C點的左邊，整個運動過程中所產生的熱量為1.4J

點評：本題是難度較大的一道題，考察的知識面非常廣，這就要求大家要熟練的掌握解決力學問題的三大法寶：牛頓運動定律、動量守恒定律和能量的轉化與守恒定律．