Question

【題目】如圖所示，一根粗細均勻的長為4L直桿豎直固定放置，其上套有A、B兩個可看做質點的小圓環A、B，質量分別為mA=4m，mB=m，桿上P點上方是光滑的且長度為L；P點下方是粗糙的，桿對兩環的滑動摩擦力大小均等于環各自的重力．開始環A靜止在P處，環B從桿的頂端由靜止釋放，B 與A發生碰撞的時間極短，碰后B的速度方向向上，速度大小為碰前的 ．求：

（1）B與A發生第一次碰撞過程是否有機械能損失．
（2）通過計算說明B與A能否在桿上發生第二次碰撞．

Answer 1

【答案】
（1）解：設B自由下落L時速度為v0，由機械能守恒定律

得：

設B與A碰撞后瞬間，B的速度大小為vB，A的速度大小為vA，A、B組成的系統動量守恒，規定向下的方向為正．

mBv0=﹣mBvB+mAvA

將

代入上式解得：

損失的機械能： =0，則機械能守恒，

答：B與A發生第一次碰撞過程沒有機械能損失．

（2）解：碰撞后A勻速下滑，B做豎直上拋運動，B返回到P點時，速度大小仍然為vB，此后，B也做勻速運動，由于vB＞vA，所以B與A可能會發生第二次碰撞．

設A、B第一次碰撞后經時間t發生第二次碰撞，B做豎直上拋運動返回到P點經歷的時間為t1，則：

A的位移：sA=vAt

B勻速運動的位移：sB=vB（t﹣t1）

由sA=sB

解得：

因sA＜3L

所以，A、B能發生第二次碰撞，碰撞的位置在P點下方 ．

答：B與A能在桿上發生第二次碰撞，碰撞的位置在P點下方 ．

【解析】（1）由機械能守恒定律求出B自由下落L時速度，A，B組成的系統動量守恒列出等式求出AB碰撞后的速度大小，從而判斷發生第一次碰撞過程是否有機械能損失．（2）碰撞后A勻速下滑，B做豎直上拋運動，B返回到P點時，速度大小仍然為vB，此后，B也做勻速運動，由于vB＞vA，所以B與A可能會發生第二次碰撞，對物體進行運動分析，運用運動學公式求解碰撞的位置．
【考點精析】掌握機械能守恒及其條件是解答本題的根本，需要知道在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變．