Question

（20分）
如圖12所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為，分別帶有等量的負、正電荷，在兩板間形成電場強度大小為E的勻強電場。A板上有一小孔（它的存在對兩板間勻強電場分布的影響可忽略不計），孔的下沿右側有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個質量為，電荷量為的小球（可視為質點），在外力作用下靜止在軌道的中點P處。孔的下沿左側也有一與板垂直的水平光滑絕緣軌道，軌道上距A板處有一固定檔板，長為的輕彈簧左端固定在擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q。撤去外力釋放帶電小粒，它將在電場力作用下由靜止開始向左運動，穿過小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質量都可以忽略不計，可認為小球與Q接觸過程中不損失機械能。小球從接觸 Q開始，經歷時間T₀第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回。由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時小球電荷量的。求：
（1）小球第一次接觸Q時的速度大小；
（2）假設小球第次彈回兩板間后向右運動的最遠處沒有到達B板，試導出小球從第次接觸 Q，到本次向右運動至最遠處的時間T₀的表達式；
（3）假設小球被第N次彈回兩板間后向右運動最遠處恰好到達B板，求N為多少。

Answer 1

（1）
（2）
（3）N="log" _k 2

（1）設小球第一次接觸Q的速度為v，接觸Q前的加速度為a。
根據牛頓第二定律有E=ma …………………………………………………2分
對于小球從靜止到與Q接觸前的過程，根據運動學公式有v²=2al…………2分
聯立解得v=………………………………………2分
（2）小球每次離開Q的瞬時速度大小相同，且等于小球第一次與Q接觸時速度大小。……………………………………………………………………1分
設小球第1次離開Q向右做減速運動的加速度為a₁，速度由v減為零所需時間為t₁，小球離開Q所帶電荷量為q₁。
根據牛頓第二定律有q₁E=ma₁……………………………………………1分
根據運動學公式有………………………………………………………………1分
根據題意可知小球第1次離開Q所帶電荷量…………………………………1分
聯立解得 ……………………………………………………………………1分
設小球第2次離開Q向右做減速運動的加速度為a₂，速度由v減為零所需時間為t₂，小球離開Q所帶電荷量為q₂。
同理q₂E=ma₂，，
聯立解得……………………………………………………………………1分
設小球第n次離開Q向右做減速運動的加速度為a_n，速度由v減為零所需時間為t_n，小球離開Q所帶電荷量為q_n。
同理 q_nE=ma_n，，…………………………………………………1分
聯立解得……………………………………………………………………1分
小球從第n次接觸Q，到本次向右運動至最遠處的時間……2分
（3）設小球第N次離開Q，向右運動的最遠處恰好在B板處，這個過程中小球的加速度為a_N，小球第N次離開Q所帶電荷量為q_N。
對于小球第N次接觸Q前，小球從P位置到與Q接觸的過程中，
根據動能定理有qEl=，…………………………………………………………1分
對于小球第N次離開Q，向右運動至B板處的過程中，
根據動能定理有q_NE2l= …………………………………………………………1分
根據上式有，又，所以k^N =" 2" ………………………………………1分
       N="log" _k 2……………………………………………………………………………………1分