Question

（2012?廣州一模）如圖所示，有小孔O和O′的兩金屬板正對并水平放置，分別與平行金屬導軌連接，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域有垂直導軌所在平面的勻強磁場．金屬桿ab與導軌垂直且接觸良好，并一直向右勻速運動．某時刻ab進入Ⅰ區域，同時一帶正電小球從O孔豎直射入兩板間．ab在Ⅰ區域運動時，小球勻速下落；ab從Ⅲ區域右邊離開磁場時，小球恰好從O′孔離開．已知板間距為3d，導軌間距為L，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域的磁感應強度大小相等、寬度均為d．帶電小球質量為m，電荷量為q，ab運動的速度為v₀，重力加速度為g．求：
（1）磁感應強度的大小
（2）ab在Ⅱ區域運動時，小球的加速度大小
（3）小球射入O孔時的速度v

Answer 1

分析：（1）帶電小球勻速下落，合力為零，電場力與重力平衡．ab在磁場區域運動時，由?=BLv₀求出感應電動勢，由E=

?

3d

求出板間場強．由平衡條件可求出磁感應強度．
（2）ab在Ⅱ磁場區域運動時，小球所受的電場力向下，大小不變，由牛頓第二定律求解加速度．
（3）小球在板間先做勻速運動，再做勻減速運動，最后做勻速運動，由運動學公式求解小球射入O孔時的速度v．

解答：解：（1）ab在磁場區域運動時，產生的感應電動勢大小為：
   ?=BLv₀…①
金屬板間產生的場強大小為：E=

?

3d

…②
ab在Ⅰ磁場區域運動時，帶電小球勻速下落，有
  mg=qE…③
聯立①②③得：B=

3mgd

qLv0

…④
（2）ab在Ⅱ磁場區域運動時，設小球的加速度a，依題意，有
 qE+mg=ma…⑤
聯立③⑤得：a=2g…⑥
（3）依題意，ab分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁場區域運動時，小球在電場中分別做勻速、勻加速和勻速運動，設發生的位移分別為S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ；ab進入Ⅲ磁場區域時，小球的運動速度為v_Ⅲ．則：
S_Ⅰ=v?

d

v0

…⑦
S_Ⅱ=v?

d

v0

+

1

2

?2g(

d

v0

)2…⑧
S_Ⅲ=v_Ⅲ

d

v0

…⑨
又v_Ⅲ=v+2g?

d

v0

 …⑩
又：S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ=3d…（11）
聯立可得：v=v₀-

gd

v0

答：
（1）磁感應強度的大小是

3mgd

qLv0

．
（2）ab在Ⅱ區域運動時，小球的加速度大小是2g．
（3）小球射入O孔時的速度v是v₀-

gd

v0

．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，綜合性較強．題中板間電壓等于導體棒的感應電動勢．